3.3. Временные характеристики звеньев

Типовыми воздействиями во временной области обычно являются единичная ступенчатая функция и единичная импульсная функции (или дельта функция в другой литературе).

Динамические свойства звена во временной области обычно определяются по его переходной функции и функции веса (или весовой функции в другой литературе).

Единичной ступенчатой функцией 1(t) называют мгновенное скачкообразное воздействие при величине скачка, равное единице (рис. 3.3, а).

Переходная функция А(t) звена представляет собой кривую переходного процесса на выходе звена, возникающего при подаче на его вход единичной ступенчатой функции x₁ = 1(t) (рис. 3.3, б).

Рис. 3.3. Единичная ступенчатая (а) и переходная (б) функции

В частном случае, когда входное воздействие представляет собой неединичную функцию x₁ = 45∙1(t), выходная величина будет равна x₂ = 45 A(t). Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся, например, мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, повышение напряжения на ТЭД при ступенчатом регулировании и т. д.

Единичная импульсная функция (t) представляет собой первую производную от единичной ступенчатой функции (t) = 1’(t). Единичная импульсная функция характерна тем, что она тождественно равна нулю везде, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности. Основное ее свойство , т. е. ее площадь равна единице (рис. 3.4, а).

Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход x₁ = (t) (рис. 3.4, б).

Рис. 3.4. Единичная импульсная функция (а) и функция веса (б)

Импульсная входная функция представляет собой также распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. В частном случае, когда входное воздействие представляет собой неединичную функцию x₁ = 45 (t), выходная величина x₂ = 45 w(t).

Установим связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте (F) и ширине () импульса, прикладываемое при t = 0 (рис. 3.5, а).

Рис. 3.5. Связь между переходной функцией и функцией веса

Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми равнозначными функциями F1(t) и –F1(t – ), прикладываемыми к входу звена со сдвигом во времени  (рис. 3.5, б). Тогда выходная величина звена

. (3.5)

Будем теперь увеличивать высоту импульса, одновременно уменьшая его ширину, но так, чтобы всё время площадь импульса равнялась единице. Умножив и поделив правую часть (3.5) на длину импульса и перейдя к пределу, получим функцию веса

. (3.6)

Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием по времени переходной функции.

Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно, передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным уравнением

. (3.7)

В свою очередь переходная функция связана с передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное уравнение

. (3.8)

Для входного воздействия произвольного вида, прикладываемого в момент t = 0, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть подсчитан на основании интеграла Дюамеля–Карсона по переходной функции

, (3.9)

или по функции веса

,        (3.10)

где х₁(0) – значение входного воздействия при t = 0; A(0) – значение переходной функции при t = 0;  – вспомогательное время суммирования, изменяющееся в пределах от 0 до рассматриваемого текущего момента времени t.