Теоретические упражнения
Какой из интегралов больше?
или
Найти:
Найти точки экстремума функции
Доказать, что если f(х) – чётная функция, то
Доказать, что для нечётной функции f(х) справедливы равенства
и
При каких целых значениях к интеграл
выражается элементарными функциями?Вычислить интеграл
8. Применяя метод интегрирования по частям, получить рекуррентную формулу:
9.Вычислить,
исходя из определения, интеграл
10. Исходя из геометрического значения определённого интеграла, доказать, что
а).
б).
в).
11. Найти ошибку, допущенную при следующем вычислении интеграла(интеграл от всюду положительной функции оказался равным нулю!)
=0.
Расчетно-графические задания: I. Вычисление неопределенных интегралов; II, III, IV, V приложение определенного интеграла.
Вариант 1.
1.
15.
28.
2.
16.
29.
3.
17.
30.
4.
18.
31.
5.
19.
32.
6.
20.
33.
7.
21.
34.
8.
22.
35.
9.
23.
36.
10.
24.
37.
11.
25.
38.
12.
26.
39.
13.
27.
40.
14.
Вариант 1.
II Вычислить площади:
а)
б)
в)
петли кривой
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
б)
от
до
в)
от
до
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями:
а)
б)
вокруг оси Оу
в)
(одной арки) вокруг
оси Ох
V.
Окружность
вращается вокруг
полярной оси. Определить площадь
поверхности вращения.
Вариант 2.
1.
15.
29.
2.
16.
30.
3.
17.
31.
4.
18.
32.
5.
19.
33.
6.
20.
34.
7.
21.
35.
8.
22.
36.
9.
23.
37.
10.
24.
38.
11.
25.
39.
12.
26.
40.
13.
27.
14.
28.
Вариант 2.
II. Вычислить площади фигур ограниченных линиями
а)
;
б)
площадь фигуры, лежащей вне круга
и ограниченной кривой
в)
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
между точками
б)
от
до
в)
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями:
а)
вокруг оси Ох
б)
вокруг оси Оу
в)
вокруг оси Ох (одной арки)
V.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Оу петли кривой:
Вариант 3.
1.
15.
28.
2.
16.
29.
3.
17.
30.
4.
18.
31.
5.
19.
32.
6.
20.
33.
7.
21.
34.
8.
22.
35.
9.
23.
36.
10.
24.
37.
11.
25.
38.
12.
26.
39.
13.
27.
40.
14.
Вариант 3.
II. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а)
б)
и
в)
и осью Ох (одной арки)
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
,
заключенный между точками с абсциссами
б)
петли кривой
в)
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями:
а)
вокруг оси Ох
б)
вокруг оси Оу
в)
вокруг оси Ох
V.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением кривой
,
заключенной между прямыми
вокруг оси Ох.
Вариант 4.
Вариант 4.
II. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а)
б)
и
в)
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
,
заключенной между точками с координатами
б)
от
в)
от
до
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращения фигур, ограниченных линиями:
а)
;
;
вокруг оси Ох
б)
;
;
вокруг оси Оу
в)
вокруг оси Ох
V. Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой
вокруг
оси Ох.
Вариант 5.
Вариант 5.
II. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями
а)
;
б)
части
лежащей внутри окружности
в)
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
периметр фигуры, ограниченной линиями:
;
б)
в)
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченные линиями:
а)
;
вокруг оси Ох
б)
;
;
вокруг оси Оу
в)
вокруг оси Ох (одной арки)
V. Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой
вокруг
оси Оу.
Вариант 6.
Вариант 6.
II. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями
а)
;
;
б)
в)
петли кривой
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
, отсеченной осью Ох
б)
в)
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченные линиями:
а)
;
;
;
вокруг оси Ох
б)
;
;
;
;
вокруг оси Оу
в)
вокруг оси Оу
V.
Вычислить площадь поверхности,
образованной вращением вокруг оси Ох
кривой
отсеченной прямой
Вариант 7.
Вариант 7.
II. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями
а)
;
б)
части
лежащей внутри
в)
петли кривой
III. Вычислить длины дуг кривых:
а)
периметр фигур, состоящих из дуг кривых
и
б)
от
до
в)
IV. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченные линиями:
а)
;
;
вокруг оси Ох
б)
;
;
вокруг оси Оу
в)
от
до
,
вокруг оси Ох
V. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой
вокруг
оси Ох от
до
Вариант 8.
Вариант 8.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
;y=
б)
(перейти к полярным координатам)
в)
петли кривой
III. Вычислить длины дуг кривых.
a)
y=ln sin x
б)
от
t=0 до
t =
в)
=1
от =
до =
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
x
=
x
= 1 y
= 1 вокруг оси Ох
б)
у = arccos
вокруг оси Оу, у = 0, y
= arccos
x
в)
вокруг оси Оу
V. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой
вокруг
оси Ох.
Вариант 9.
|
|
|
Вариант 9.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
х=у
,
х=
б) a sin 3
в)
III. Вычислить длину дуг кривых.
a) y=ln(2cosx) между точками пересечения с осями координат
б)
от t=0
до t=
в)
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=4x – x y=x вокруг оси Ох
б)
у=
вокруг оси оу х=0, у=0
в)
t=0
t=
вокруг оси Ох
V. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ох кривой
между
точками пересечения с осями координат
Вариант 10.
Вариант 10.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
y=x
+1
; y=
x
;
y=5.
б) p=a(1-cos ) вне кривой p=a cos
в)
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
y=arcsin
e
от x=0
до x=1
б) от t=0 до t=
в)
p=a
sec
(-
)
от =0
до =
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=ln x , x=e , y=0 вокруг оси Оx
б) y=x 8x=y вокруг оси Оу
в)
(одной арки) вокруг оси Оу
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой
вокруг
оси Ох.
Вариант 11.
Вариант 11.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
;
y
-24x=48
б) 2-cos3 (между смежными наибольшим и наименьшим радиусами кривой)
в)
осью Оу
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
y=
между прямыми х= а
б)
в)
2е
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
y=sinx
y=
x
вокруг оси Ох
б)
у= 1
вокруг оси Оу
в)
вокруг оси Оу
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси ох кардиоиды.
Х= 2(2cos t-cos2t)
Y=2(2sint-sin2t)
Вариант 12.
Вариант 12.
II. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
;
x
+y
=8
б) a sin 3
в)
III. Вычислить длину дуг кривых.
a) петли 9ay = x(x-3a)
б)
от
t=0
до t
=
в)
=
от =
до =
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y= x=-a x=a y=0 вокруг оси Ох
б)
y=x
,
y=0,
x=2
вокруг оси Оу
в) осью Оу, вокруг оси Оу
V. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ох кривой
(перейти
к полярным координатам)
Вариант 13.
Вариант 13.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) y=0 ; y=(x+1) ; y=4-x
б) p=2+cos
в) 0< t<
III. Вычислить длины дуг кривых.
a) y=ln(1-x ) от x=- до x=
б)
от t=
до t=
в)
p=12e
от =0
до =
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=x +1 ; y=3x-1 вокруг оси Оx
б) (x-1) +y =1 вокруг оси Оy
в)
петли кривой вокруг Ох
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси оу.
Вариант 14.
Вариант 14.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) y=x ; y=8-x
б) p=2+sin3 между смежными наибольшим и наименьшим радиусами кривой
в)
петли кривой
III. Вычислить длину дуг кривых.
a) y=ln(2cosx) между точками пересечения с осями координат
б)
от t=0
до t=
в) p=6(1+sin )
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
y=
вокруг её асимптоты
б) y=x(4-x) y=0 вокруг оси Оу
в)
(одной арки) вокруг оси Оу
V. Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги
между точками пересечения с осями координат.
Вариант 15.
Вариант 15.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
+
=1
и
x+y=1
б)
p=2
a
cos
и
p=2a sin
в)
петли кривой
III. Вычислить длину дуг кривых.
a) y=2 от x=1 до x=4
б)
в) p=5(1-cos ) от =- до =0
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=4x – x y=x вокруг оси Ох
б)
y=e
;
x=0
, x=2
вокруг оси Оу, y=0;
в)
осями х=0 , у=0 вокруг оси Ох
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой
вокруг оси ох от t=0 до t=
Вариант 16.
Вариант 16.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
x=y
;
x=
б)
(
перейти к полярным координатам
в)
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
y
;
x=4
(периметр фигуры)
б) от t=0, t=
в) p=8(1+cos )
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
x
y
вокруг оси Ох
б) у=2x-x ; y=0 вокруг оси оу
в) от t=0, t= , вокруг оси Ох
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг оси ох.
y
Вариант 17.
Вариант 17.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) y=(x-4) ; y=16-x вокруг оси Ох
б) x=a(cos t+t sin t) от t=0 до t=
y=a(sin t-t cos t)
в) p=8sin
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
=2px,
отсеченной прямой х=
б) x=a(cos t-t sin t)
y=a(sin t-t cos t) от t=0 до t=
в) p=8sin
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=(x-4) , y=16-x вокруг оси Ох
б) y=sin x , x=0 , y=1 вокруг оси Оу
в)
между точками пересечения с осью ох
вокруг оси ох
V.Вычислить
площадь поверхности, образованной
вращением кривой x=
вокруг оси Оy от y=1
до y=e.
Вариант 18.
Вариант 18.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
y=4x
y=
y=2
б)
=a
=acos
вне
кардиоиды
в)
Второй аркой циклоиды
и осью Ох
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
периметр фигуры x
,y=1
б)
между точками пересечения с осями
координат
в)
=2
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
х=-3 вокруг оси Ох
б) у=cosx y=0 x=0 вокруг оси Оу
в)
осями координат, вокруг оси Ох
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой
Y=x вокруг оси оx от точки 0(0;0) до точки М(1,1)
Вариант 19.
Вариант 19.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) y=x -2x+2, касательной к ней в т.(3;5 ) и осью ординат
б)
=а
=а
в)
и осью Оу
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
у
отсечённой прямой х =-1
б)
0
в)
=3e
от=0
до=
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=4-x и 2х+у-4=0 вокруг оси Оу
б) у=х и 8х=у вокруг оси Оу
в) петли кривой вокруг оси Ох
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой
х
вокруг оси Оу.
Вариант 20.
Вариант 20.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) Найти площадь между параболой у=-х -2х+3, касательной к ней в точке М (2;5) и осью ординат
б) аsin2 , а (вне первой кривой )
в)
от 0 до2
III. Вычислить длину дуг кривых.
a) y=eх между точками (0;1); (1;е)
б)
0
в) =9cos
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
x
+y
=a
x=0
y=0
вокруг оси Ох
б)
у=
вокруг оси оу х=0, у=0
в)
осью оу, вокруг оси Оу
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды
вокруг оси Ох.
Вариант 21.
Вариант 21.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) y=(x+1) y=cosx y=0
б) =2a(1-cos)
в)
и осями координат
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
3у
между точками пересечения с осью Ох
б)
от t=0
до t=
в)
e
от
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
2х-х
2х
вокруг оси Ох
б) ху=9 у=3 у=9 х=0 вокруг Оу
в)
от t=0
t=6
вокруг оси Ох
V.Вычислить
площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох кривой 8у
.
Вариант 22.
Вариант 22.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) у =4х , х =4у, х +у =5
б)
а
вне кривой
в)
и осью оу
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
у=ln
(cos
x)
+ 2 (0
)
б)
между точками пересечения с осью Ох
в) a(sin+cos)
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a)
у=0,25х
и 5х-8у+14=0 вокруг оси Ох
б) у=lnx, x=2 y=0 вокруг оси Оу
в)
прямыми у=0, у=2 вокруг оси Оу
V.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу кривой.
.
Вариант 23.
Вариант 23.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a)
х
=4у
б)
у=4 (у
4)
в) =а(1+sin) вне кривой =аsin
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
y=
0
б) 4(1+cos)
в) петли кривой
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) у=х +3, х=4, х=0 у=0 вокруг оси Оу
б) у =(4+х) х=0 вокруг оси Ох
в) и осью Оу (одной арки циклоиды)
V. Вычислить площадь поверхности вращения фигуры, ограниченной линией
,
вокруг оси Ox.
Вариант 24.
Вариант 24.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) х=-2у х=1-3у
б) =2asin3 вне круга а
в)
и прямой у=4 (у
)
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
у=2-е
(ln
)
б)
в) от до
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) у=10-х2 , у=х +2, х=0 вокруг оси Оу
б) у=хе , х=1, у=0 вокруг оси Ох
в)
V. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 9х =у(3-у) вокруг оси Оу.
Вариант 25.
Вариант 25.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) у=(х-1) у=cosx y=0
б) a(1-cos) a
в)
и осями координат (I
четверть)
III. Вычислить длину дуг кривых.
a) 3у =х(х-1) между точками пересечения с осью Ох
б)
от t
=0 до t=2
в)e
от =0
до =
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) 2х+х -у=0 вокруг оси Ох
-2х -4х+у=0
б) ху=18, у=3, у=9, х=0
вокруг оси Оу
в)
(t=0
до t=8)
вокруг оси Ох
V.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох кривой
между точками пересечения с осями координат.
Вариант 26.
13.
14.
Вариант 26.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) х=-2у х=1-3у
б)
3a
sin
в)
0
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
y=ln
(cos
x),
заключённой между точками с абсциссами
х=0, х=
б) от t=0 до t=2
в)
asin
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=x -2x+1 x=2 y=0 вокруг оси Оу
б)
у=е
у=0, х=0, х=1 вокруг оси Ох
в)
вокруг Оу.
V. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой у +4ух=2lny вокруг оси Оу от у=1 до у=2.
Вариант 27.
Вариант 27.
II.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
a) у=2х-х , у+х=0
б) (1+cos ) и
в)
и осями координат
III. Вычислить длину дуг кривых.
a)
у
=х
отсечённой прямой
б)
между
точками пересечения с осями координат
в)аsin
IV.Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных линиями
a) y=cos(x- ) ,.х=0, у=0 (при х0) вокруг оси Ох
б) у=х х=0, у=8 вокруг оси Оу
в)
одной арки циклоиды вокруг оси Ох
V. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой у =4+х, отсечённой прямой х=2 вокруг оси Ох.