1) , Если достаточно мало

2) , Если

3) при

Напишем для z(t) интегральное уравнение

Убедимся, что при (*)

1. t=0 – неравенство справедливо.

2. Пусть при неравенство перестает выполняться и

В силу (2) при достаточно малом -

При (*) верно, поэтому , (т.е. )

поэтому при ,

«противоречие» верно (*)

Теперь, пусть , , .

Тогда , и в силу (*) и 2) , - т.е. тривиальное решение (3) устойчиво, причем в силу 3) асимптотически.

Пример.

,

2) Аналогично.

3) Очевидно.

4)

5) Столбцы фундаментальной матрицы W(t) имеют вид:

, пусть

ограничена при . Таким образом,

Убедимся, что .

удовлетворяет

з аменяя на удовлетворяет

поэтому по теореме единственности

Доказательство Теоремы 1:

, т.е. решение

Рассмотрим точку фазового пространства по Лемме 2), ,

Рассмотрим вспомогательную задачу.

20. Функции алгебры логики. Реализация их формулами. Совершенная д.Н.Ф.

Функции от переменных со значениями из {0,1} обозначим .

Их всего

Определение. В , называется существенной, если

И фиктивной, если

Операции над ф.а.л. – Добавление и удаление фиктивных переменных

Определение. Ф.а.л. называются равными, если они переводятся одна в другую добавлением или отбрасыванием фиктивных переменных.

Определение. Формула над F. (индуктивное определение)

1. - формула над F. (базис)

2. Если каждый из объектов либо формула над F, либо переменная, то - формула над F.

Определение. Две формулы называются эквивалентными, если они реализуют равные функции.

Значение формулы.

1. 

2. 

; на 1-м наборе

Теорема.

Пусть -ф.а.л. Тогда

(V берем по всевозможным )

Доказательство:

1. Берем

Два случая:

а)

б)

Частные случаи:

1. k=1 – разложение по переменной

2. k=n – совершенная д.н.ф.

Следствие. Любую ф.а.л. можно представить в виде с.д.н.ф.

21. Вероятностное пространство. Случайные величины. Закон больших чисел в форме Чебышева

Вероятностное пространство - это тройка (, А, Р), где

   — пространство элементарных событий (исходов) - непустое множество, элементы  которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого случайного явления;

А — набор подмножеств множества , называемых событиями. А является -алгеброй, т.е. , если   , ,...  i=1, i;

Р вероятность — функция, определенная на А и удовлетворяющая следующим условиям:

1) Р (А) 0 ;

2) Р () 

3)  (i=1,i) i=1, P(Ai), если АiAj  при ij

 3а)  (+) ()+(), 

3б) ...n..., i  nlim P(n)

Примеры:

1) Пусть (, ..., s), i, ...,ik—всевозможные подмножества множества 

Р()...(s)s  (A)A   —классическое опр. вероятности

2. Пусть  — множество в n-мерном евклидовом пространстве, объём () которого  и конечен. - алгебра  состоит из всех измеримых (т.е. имеющих объём) подмножеств .

()() (),  — геометрическое определение вероятности.

Пусть задано вероятностное пространство (, , ).

Случайной величиной называется действительная функция от элементарного события (), , для которой при  действительных x множество : ()x принадлежит  (т.е. является событием ) и для него определена вероятность : ()х или х. Эта вероятность, рассматриваемая как функция х, называется функцией распределения случайной величины  и обозначают F(x). С помощью F(x) можно однозначно определить () для борелевских множеств на числовой прямой. () как функция  называется распределением вероятностей случайной величины .

Примеры:

Если p(x) >= 0  x:

1) абсолютно непрерывные распределения:

{}= , где p(x) - плотность вероятности

2) дискретные распределения - задаются конечным или счетным набором вероятностей

{=хК}: ,

Свойства:

1) lim x-> F(x) = 1

2) lim x->- F(x) = lim x->- P(<x) = 0

3) F(x) - неубывающая функция

4) F(x) односторонне непрерывна (слева, если F(x)=P(<x)) lim x->x0- F(x) = F(x0)

Математическим ожиданием случайной величины  называется число M = , если интеграл Лебега . Если  имеет плотность, то M = . Если  - дискретна, то М = , если ряд сходится абсолютно. В общем случае M = .

Дисперсией случайной величины  называется число D = M ={определение математического ожидания}=

Неравенство Чебышева

Доказательство:

Так как в области интегрирования 1 ,

то = .

Теорема Чебышева

Если ₁, ₂,..., _n - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С: D₁ , D₂ ,..., D_n , тогда .

Доказательство:

По свойствам дисперсии: =>

Из неравенства Чебышева: ,n-> =>

так как P не может быть > 1.

Свойства вероятности (из определения):

1. Если АВ, то Р(В\А) = Р(В) - Р(А) Т.к. В=А+(В\А), А(В\А) = 0 => Р(В) = Р(А) + Р(В\А) Аналогично А₁А₂А₃... А_n... и n=1, А_n = 0 => limP(A_n)=0

2. Если АВ, то Р(А) <= P(B)

3. AA => 0<=P(A)<=1

4. P( )=1-P(A)

5. P()=0

Примеры распределений:

1. P(=a) = 1 ?!

2. P(=k) = , k=0,  Пуассона

3. p(x)=1/(b-a) на [a, b] Равномерное

4. p(x)= Нормальное (m, )

Доказательство непрерывности F(x) слева (см. выше):

Пусть {yN} неубывает и -> x0. Тогда  последовательность вложенных событий:

( < yN)  ( < yN+1) ..., n=1, ( < yN) = ( < x0)

lim P( < yN) = P( < x0) => F(x) = F(x0)