Символический метод расчета.

Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.

Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

• преобразование всех величин и параметров электрической цепи в их изображения комплексными числами;

• преобразование исходной электрической цепи в символическую схему замещения, где все величины и параметры представлены изображениями;

Комплексная форма представления синусоидальных величин (формулы Эйлера) .

=А_м sin(ω t+ψ) - =A_m e^jψ, A_me^j(ωt+ψ)=A_mcos(ω t+ψ)+j A_m sin(ω t+ψ)

Мнимая часть комплексного числа вращающегося вектора равна синусоидальной величине изменения тока. В плоскости J +1 проекция вектора на ось OJ предстаёт в синусоидальном виде.

Применительно к переменному току следует писать в комплексном виде:

=Ie^jψ=I<ψ,

Индуктивность

u_L=-Ldi_L/dt=ω L I_Lm cos(ω t+ψ_i)=U_Lm sin(ω t+ψ_i+π/2)=U_Lmsin(ω t+ψ_u),

Ψ _u=ψ_i+π /2, U_L=ωL I_L=X_L I_L,

В индукт. элементе вектор напряжения опережает вектор тока на π/2.

Х_L=ω L(>0) [om]- индуктивное сопротивление

При постоянном токе ω=0 индуктивность не оказывает никакого сопротивления, а при ω>0 сопротивление индуктивности возрастает.

Аналогично действуем для емкостного элемента.

U_C=U_Cm sin(ω t+ψ_u),I_C =dq/dt,

I_C=C dU_C/dt=ω C U_Cm cos(ω t+ψ_u)=I_Cm sin(ω t+ψ_u+π/2))=I_Cm sin(ω t+ψ_I),

В ёмкости вектор тока опережает вектор напряжения на π/2.

I_Cm= ω C U_Cm, U_C=I_C/ ω C=I_C/B_C, B_C= ω C -емкостная проводимость [ом^-1],_С

Х_С=-1/ ω C (<0)[- емкостное сопротивление .

Для постоянного тока ω=0 ёмкость разрывает эл цепь, а при ω=∞-ёмкость не имеет сопротивления.

Полное сопротивление индуктивной и емкостной цепи , φ=arctg((X_L-X_C)/R), I =U/Z e^j(ψ_u^-φ).

Энергетические процессы в резистивном, индуктивном и ёмкостном элементах.

Резистивный элемент. U_r=U_rm sinω t, I_r=U_r/R=I_rm sinω t.

Мощность мгновенная p_r=U_r I_r=U_rm I_rm sin ² ω t = U_rm I_rm/2 (1-cos2ωt)

Средняя за период мощность P_r=

Индуктивный элемент: напряжение u_l=L di_l/dt=U_lm cosωt опережает по фазе на угол π/2 ток i_l=I_lm sinωt.

Мгновенная мощность p_l=u_l i_l=U_ml I_ml sin ωt cos ωt= U_ml I_ml /2 sin 2 ωt.

Средняя за период Т значение мощности Р_l=∫p_l dt/T=0.Синусоидальный ток в индуктивном элементе не совершает работы. За первые четверть периода происходит накопление энергии, а за следующую четверть – отдаёт в сеть энергию. Поэтому энергетический режим работы индуктивного элемента принято определять не активной, а реактивной индуктивной мощностью, равной максимальному положительному значению мгновенной мощности:

Q_L=U_L I_L=X_L I_L².

Емкостной элемент: напряжение u_c=(1/C) ∫i_c dt=-U_cm cos ωt отстаёт по фазе от тока на угол π/2 от тока.

Мгновенная мощность p_c=u_c i_c=-U_c I_c sin 2 ωt.

Емкостной элемент, как и индуктивный, то заряжается, от отдаёт энергию в электрическую сеть ; как и индуктивный элемент ёмкость не совершает работы.

Реактивная мощность ёмкости равна максимальному отрицательному значению мгновенной мощности:

Q_C=-U_C I_C=-X_C I_C².

Полная мощность электрической цепи:

S=U I=Z I² [B·A], S²=P²+Q², Q=X I²[B AP], X=X_L-X_C-реактивное сопротивл.

Колебания энергии в элементах цепи переменного тока.

В катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х_L и Х_С , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными

Из предыдущих рисунков видно, что при накоплении энергии в первую четверть периода индуктивностью, ёмкость в этот момент отдаёт в сеть накопленную в ней энергию. Затем всё меняется на обратное z²=r²+(x_l-x_c)².

Средняя мощность потребителя энергии.

)=U I cosφ [ВТ], -активная мощность.

S=U I [VA]-полная мощность, Q=U I sinφ [Вар]-реактивная мощность ей обмениваются составляющие электрической схемы.S ²=P²_a+Q².

Cosφ-коэффициент мощности.

В состав Ё - мобиля входят: генератор постоянного или переменного тока, тяговый электродвигатель, система управления ТС (транспортное средство) и емкостный накопитель энергии. Накопитель посредством блока управления подключают к тяговому двигателю при разгоне ТС, чтобы обеспечить ускорение (или торможение для заряда конденсаторов от кинетической энергии ТС).

Таким образом городской автомобиль с комбинированной энергоустановкой разгоняется за счет конденсаторов (суперконденсаторов на Ё-мобиле). Они способны отдать накопленную энергию куда большей мощности, чем аккумуляторы, ибо внутреннее сопротивление конденсаторов на порядок меньше такого же сопротивления аккумуляторов.

Суперконденсаторы (ионисторы), предлагаемые к производству в рамках проекта относятся к классу конденсаторов, использующих энергию заряда, сосредоточенного в двойном электрическом слое. Напряжение одного суперконденсатора составляет 1,8...3 В, номинальная емкость до 5000 Ф (емкость земного шара 0.7 Ф), вес до 1 кг., габарит 95 мм. на 120 мм. В процессе эксплуатации и хранения ионисторы не требуют обслуживания, работоспособны в широком интервале температур (-40...+70С), имеют длительный срок эксплуатации. Большинство ионисторов имеют низкий саморазряд и малую величину внутреннего сопротивления(менее 1 мОм). Энергия, запасаемая ионисторами может достигать 50-60 дж/г, а мощность десятки кВт/кг. Суперконденсаторы могут широко применяться в качестве кратковременных перезаряжаемых источников тока с очень большим количеством циклов в режиме "заряд-разряд". Количество циклов до 1 млн. Рабочие токи ионисторов до 1000 А.

Кроме того, конденсаторы заряжаются за сколь угодно малое время, аккумуляторы же — в лучшем случае за несколько часов. Значит, городской автомобиль с такой энергоустановкой всегда готов к эксплуатации, что не присуще машинам, использующим аккумуляторы. При этом удельная мощность конденсаторов на много порядков выше аналогичных показателей других накопителей энергии, о чем говорит таблица.

Показатели некоторых накопителей энергии

Тип накопителя	Удельная мощность, Вт/г
Пружины	10
Резина	0,8
Сжатый газ	10
Хим. аккумуляторы	0,8—1,5
Маховики	10
Индуктивный	1000
Емкостный (конденсатор)	100.000

 

Одна из блок-схем городского автомобиля будущего. По схеме ДВС значительно меньшей мощности, чем ДВС обычного автомобиля, вращает генератор электроэнергии. Она поступает в емкостный накопитель, а уж из него — в тяговый электродвигатель, которым вращаются колеса транспортного средства. Количество электроэнергии, необходимое для того или иного маневра ТС, регулируется электронными устройствами. При торможении тяговый электродвигатель работает в режиме генератора, отдавая анергию в конденсатор-накопитель для использования при последующем разгоне или для запуска двигателя после остановки. Теперь ДВС, который в новом типе автомобиля не связан с механической трансмиссией, можно размещать спереди, сзади и даже на прицепной тележке.

При торможении автомобиля энергия, накопленная движущейся массой, легко преобразуется электродвигателем обратно в электрическую и вновь используется для разгона (например, после светофора).

Резонанс в цепи переменного тока

Резонанс напряжений в последовательной цепи.

I=U/Z=U/√[R²+(ωL-1/ωC)²]-действующее значение тока.

При ω L=1/ωC, L=1/ω_рез C, ω_рез=1.√(LC) наступает резонанс напряжения I=U/R-максимален ,а ток и напряжение совпадают по фазе.

Резонанс токов в параллельной цепи.

Действующее значение тока I=U √[G²+(1/(ωL)-ω C)²]

При 1/(ωL)=ω C, ω_рез=1.√(LC) общий ток минимален I=U G.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Резистор

-ЗАКОН ОМА для резистора

Индуктивность

закон Ома для индуктивности

jX_L-комплексное сопротивление индуктивности. 1/jX_L=-jB_L-комплексная проводимость

ЕМКОСТЬ

-Закон Ома для емкости

1/jωC=-jX_c-комплексное сопротивление емкости, jωC-комплексная проводимость.

Законы Кирхгофа в комплексном виде.

Первый закон (для узлов)

Второй закон Кирхгофа.

Многофазные системы.

Объединение в одну цепь нескольких однофазных цепей одной частоты с независимыми источниками в технике широко используется (многофазные системы).

Распространена трехфазная система.(Доливо - Добровольский -1862-1919г)

Они широко используются для передачи и распределения энергии.

Источник -трехфазный генератор с тремя обмотками переменного тока.

Сдвиг по фазе токов-120⁰.

Соединение фаз звездой

Если сопротивления трех приемников одинаковы, то ток в нейтральном проводе равен нулю, а U_a=U_b=U_c фазные напряжения U_ф. Iл=Iф.

U_ab, U_bc,U_ca-линейные напряжения Uл=√3 U_ф.

Если U_л=380 В, то U_ф=220 В, если U_л=220 В, то U_ф=127 В.

Трехфазный двигатель подключают к 3 фазам. Осветительные источники подключаются к фазе и нейтральному проводу.

Мощность системы P=3 U_Ф I_Ф cosφ=√3 U_Л I_Л cosφ

Соединение фаз треугольником

Линейные токи равны Ia=Iab-Ica,Ib=Ibc-Iab,Ic=Ica-Ibc.

Линейные токи I_Л отличаются от фазных токов I_Ф:

I_Л=√3 I_Ф=2 cоs30^oI_Ф., U_Л=U_Ф.

Преимущество соединения треугольником (по сравнению со звездой) взаимная независимость фазных токов.

Мощность при переключении с треугольника на звезду

P_ТРЕУГ=3Р_ЗВЕЗДЫ

Измерение активной мощности трехфазной системы.

У симметричного трехфазного приемника мощности фаз одинаковы и достаточно измерить Р_Ф. Тогда мощность приемника Р=3Р_Ф.

Измерение мощности фаз приёмника.