Основні положення методики розрахунку нетто- і брутто-ставки по страхуванню на дожиття й на випадок смерті

Тарифні ставки розраховуються для різних способів сплати страхової премії по страхуванню життя.

Страхова премія може сплачуватися одноразово або шляхом внесення страхових внесків з певної договором страхування життя періодичністю (один раз у рік щокварталу або щомісяця протягом установленого періоду часу або всього строку страхування).

С позицій концентрації грошових ресурсів, тривалості й ефективності інвестування страхових резервів, збільшення доходу для страховика значно вигідніше одноразова сплата страхової премії.

Крім того, одноразова сплата страхувальником страхової премії більше надійна для страховика, тому що які-небудь непередбачені обставини в житті або діяльності страхувальника в цьому випадку не відіб'ються на виконанні їм цього зобов'язання перед страховиком. Зменшуються також витрати на збір, облік страхової премії, банківські операції з коштами страхової організації.

Для більшості страхувальників, навпаки, переважніше сплата страхової премії частинами (внесками) протягом тривалого періоду часу.

Тому звичайно в правилах страхування життя страховики передбачають різні способи сплати страхової премії.

Розглянемо на прикладі основні положення методу визначення одноразових нетто- і брутто-ставок по страхуванню на дожиття й на випадок смерті при наступних вихідних даних:

• вік страхування (повного років) на момент укладання договору

страхування, х = 40 років;

• кількість підлягаючому страхуванню осіб по таблиці смертності

(достигнувших віку х = 40 років з 100 000 народжених) для

прийнятого віку страхування L_x= 91 366 чоловік;

• строк страхування п = 5 років;

• число осіб, що доживають до закінчення строку страхування, по таблиці смертності L_x+n = 89 047 чоловік;

• норма прибутковості інвестування страхових резервів i = 0,07;

• одиниця виміру страхової суми, на яку розраховується тарифна ставка і яка умовно прийнята в прикладі розрахунку тарифу як страхова сума за договором страхування життя кожного застрахованого S = 100 грн.

Розрахуємо спочатку одноразову нетто-ставку для договорів страхування на дожиття.

Через 5 років страховик повинен мати певну величину фонду коштів (B₅), сформовану за рахунок страхових внесків (страхової премії), що сплачують одноразово страхувальниками, і інвестиційного доходу.

Сума фонду повинна бути достатньої для виплати страхової суми S, рівної 100 руб., всім, що дожили до закінчень строку страхування й достигших 45-літнього віку, тобто

B₅ = L₄₅ S = 89 047 • 100 = 8 904 700 грн.

Однак на початку страхування загальна сума, що сплачує страхувальниками, страхової нетто-премії може бути менше, тому що протягом 5 років вона буде зростати (разом з нарахованим доходом за кожний рік) щорічно на 7 складних відсотків за рахунок інвестування страхових резервів по страхуванню життя.

Тому сучасна вартість (на початок страхування) фонду, що вимагається, коштів (A_x) може бути розрахована по формулі з використанням множника, що дисконтує, Vn :

A_x = B_n • Vⁿ = B₅ • V⁵ = В₅ = 8 904 700 = 6 348 962 грн.

Така сума — 6 348 963 грн. — повинна бути отримана страховиком у вигляді сплаченої страхувальниками страхової нетто-премії для забезпечення виплат страхових сум у розмірі 100 грн. через 5 років всім, що дожили до закінчення строку страхування й віку 45 років застрахованим в 40-літньому віці особам.

Для того щоб визначити, яку суму нетто-премії повинен заплатити кожен страхувальник, необхідно розділити A_x на кількість осіб, що вступили в страхування, Lx = 91 366 чоловік.

Этпро і буде одноразова нетто-ставка ( _nE_x ) по страхуванню на дожиття з 100 грн., страхової суми для віку х = 40 років при строку страхування п = 5 років і нормі прибутковості i = 0,07.

У результаті перетворень формула для розрахунку

одноразової нетто-ставки на дожиття з 1 гривні страхової суми ( _nE_x ) буде мати такий вигляд:

_nE_x = . ( 2)

Аналізуючи виведену формулу, можна зробити два висновки:

• чим довше строк страхування на дожиття, тим нижче нетто-ставка, тому що збільшується сума враховує в розрахунку й доходу, що знижує нетто-ставку, від інвестованих страхових резервів по страхуванню життя;

• нетто-ставка вище для меншого віку застрахованих осіб у порівнянні з нетто-ставкою для осіб більшого віку при однаковому строку страхування на дожиття, тому що серед більше молодих нижче смертність.

Проводячи аналогічні міркування, розрахуємо одноразову нетто-ставку по страхуванню на випадок смерті по тимі ж вихідним даним і числу вмираючих у кожному році страхування з таблиці смертності.

Загальна величина необхідного фонду коштів В_n для виплати страхових сум S у розмірі 100 руб. з нагоди смерті застрахованих осіб всім їх вигодоотримувачам, починаючи з першого й до останнього року страхування , може розраховуватися по формулі

,

де d_х, d_x+1, d_x+2, ... d_x+n-1 - число вмираючих по строках страхування

у літах.

Сучасна вартість (на початок страхування) необхідного фонду коштів (Ах) розраховується з урахуванням дисконтуючого множника по формулі

.

Для визначення одноразової нетто-ставки по страхуванню на випадок смерті (_пахнув) з 100 грн. страхової суми необхідно A_x розділити на число осіб, що вступили в страхування, Lx , тобто

.

Остаточна робоча формула для розрахунку одноразової нетто-ставки на випадок смерті з 1 гривні страхової суми ( _nА_х ) буде мати такий вигляд:

. ( 3)

Брутто-ставка ( Т_б ) при страхуванні на дожиття й на випадок смерті розраховується по формулі

( 4)

де Т_н - відповідна одноразова нетто-ставка по виду

страхування ;

f = К_вд + К_пр - питома вага навантаження в структурі

брутто-ставки:

К_вд - норматив витрат на ведення справи;

К_пр - норматив прибутку .

Формули для розрахунку нормативу витрат на ведення справи (К_вд ) і нормативу прибутку (К_пр ) нами були представлені раніше в темі «Актуарні розрахунки в страхуванні ».

Перехід від одноразової нетто-ставки до ставки при сплаті страхової премії на виплат

У випадку сплати страхових внесків щорічно протягом установленого договором страхування періоду для всього строку страхування життя страховик не може одержати такий же доход від інвестування страхових резервів, як при одноразовій сплаті страхової премії.

Крім того, частина внесків страховик взагалі не одержить через зменшення числа застрахованих осіб внаслідок їхньої смертності.

Тому нетто-ставку при розстрочці страхових платежів не можна визначати простим розподілом одноразової нетто-ставки на число років страхування.

Щоб забезпечити одержання страхової премії при розстрочці її сплати по роках страхування в сумі, еквівалентної (з компенсацією втрат частини доходів від інвестування коштів резервів і страхових внесків), але не рівної одноразово страхової премії, що сплачує арифметично, розраховуються річні нетто-ставки .

Річні нетто-ставки обчислюються розподілом одноразових нетто-ставок на коефіцієнти розстрочки.

Значення коефіцієнтів розстрочки завжди трохи менше числа років (строку) страхування.

Тому отримані за допомогою коефіцієнтів розстрочки річні нетто-ставки внесків по величині більше, ніж їхнього значення, одержувані простим розподілом одноразових нетто-ставок на кількість років страхування.

За рахунок такого розходження у величині річних й одноразових нетто-ставок компенсуються втрати страховика у зв'язку з розстрочкою сплати страхової премії в порівнянні з одноразовим страховим платежем.

Застосовуються два види коефіцієнта розстрочки залежно від часу сплати річної суми страхового внеску:

• коефіцієнт розстрочки постнумерандо - при сплаті внеску наприкінці року;

• коефіцієнт розстрочки пренумерандо - при сплаті внеску на початку страхового року.

Формула для розрахунку, наприклад коефіцієнта розстрочки постнумерандо, виводиться шляхом використання наступного алгоритму розрахунку й математичних залежностей між розглянутими в прикладі показниками:

1 Допускається, що до кінця кожного року страхування всі страхувальники сплачують страховий внесок у розмірі 1 грн.

2 Загальна сума сплачених внесків наприкінці кожного року страхування визначається множенням числа що дожили (по таблиці смертності) до вікової групи наступного року L_x+1 на 1 грн. річного внеску.

Наприклад, для першого року страхування загальна величина сплачених страхових внесків дорівнює L_x+1.1. 0 = L_{x+1 .}

Для другого року - L_x+2 .

Для n-го року L_x+n .

3 Сучасна вартість загальної суми сплачених всіма страхувальниками наприкінці першого страхового року внесків визначається множенням суми внесків - L_х+1 на множник, що дисконтує, - V,

т.е. L_х+1 • V.

Сучасна вартість внесків другого року буде дорівнює - L_х+2 • V²,

а n-го року — L_х+n • Vⁿ.

4 Для кожної з осіб, що вступили в страхування, Lх величина сучасної вартості загальної суми річних внесків за строк страхування n років зі сплатою їх наприкінці кожного страхового _року ( па'х ) визначається по формулі ( коефіцієнт розстрочки платежу постнумерандо ):

, ( 5)

де _па'х - коефіцієнт розстрочки платежу постнумерандо являє собою сучасну вартість річної ставки внеску в розмірі 1 грн. при строку страхування п років і нормі прибутковості - i .

Аналогічно виводиться формула сучасної вартості загальної суми річних внесків за п років зі сплатою їх на початку року розраховуючи на один страхувальника ( коефіцієнт розстрочки платежу пренумерандо ):

. ( 6)

Таким чином, використання коефіцієнтів розстрочки платежу дозволяє страховикові розрахувати річні нетто-ставки, тобто одноразові ставки, розраховані по формулах

( 2) і ( 3 ), діляться на коефіцієнти розстрочки платежу, які визначаються по формулах ( 5) і ( 6 ).

У практиці страхування при розрахунках річних нетто-ставок на дожиття й на випадок смерті, як правило, використається коефіцієнт розстрочки платежу пренумерандо.

У випадку сплати щомісячних платежів розраховуються відповідні місячні ставки шляхом розподілу річних нетто-ставок на число 12.

Брутто-ставка ( Т_б ) при розрахунках річних і місячних платежів розраховується як було відзначено раніше по відомій формулі

де Т_н - відповідна річна або місячна нетто-ставка по

виду страхування ;

f = К_вд + К_пр - питома вага навантаження в структурі

брутто-ставки;

К_вд - норматив витрат на ведення справи;

К_пр - норматив прибутку .

Основні положення методики розрахунку нетто- і брутто-ставок по страхуванню ренти й пенсії

Формули для розрахунку нетто-ставок по страхуванню довічної ренти й довічної пенсії виводяться практично однаково.

Припустимо, що договори страхування довічної ренти (пенсії) укладають всі обличчя, що досягли віку х років, тобто по таблиці смертності L_x людина.

Розмір річної ренти (пенсії) для встановлення нетто-ставки з 100 грн. страхової суми приймаємо умовно 100 грн. ( S = 100 грн.).

Початок виплати ренти (пенсії) через п повного років.

Число, що дожили до одержання ренти (пенсії) осіб через п років буде дорівнює L_х+п.

Розрахунки одноразових нетто-ставок пост- і пренумерандо провадяться відповідно по формулах.

Одноразова нетто-ставка постнумерандо

. ( 7)

Одноразова нетто-ставка пренумерандо

. ( 8)

Перехід від одноразових нетто-ставок до річних і місячних нетто-ставок здійснюється шляхом розподілу одноразових ставок на коефіцієнти розстрочки й число 12 .

Формули для розрахунку коефіцієнтів розстрочки пост- і пренумерандо будуть мати такий вигляд:

- коефіцієнт розстрочки постнумерандо

; ( 9)

- коефіцієнт розстрочки платежу пренумерандо

. ( 10)

Брутто-ставка ( Т_б ) при розрахунках річних і місячних платежів розраховується аналогічно по формулі:

де Т_н - відповідна річна або місячна нетто-ставка по

виду страхування;

f = К_вд + К_пр - питома вага навантаження в структурі

брутто-ставки;

К_вд - норматив витрат на ведення справи;

К_пр - норматив прибутку .

В останні роки математичний апарат розрахунку страхових тарифів одержав значний розвиток. Виведено формули для розрахунку тарифних ставок на персональних комп'ютерах.

Розроблені страхові тарифи в стабільних економічних умовах діють звичайно тривалий час й є найважливішим елементом в організації економічних відносин між страхувальниками й страховиком.

Множенням тарифної брутто-ставки на страхову суму визначається розмір страхової премії, що сплачує страхувальником за страхування страховикові.

Страхова одноразова нетто-премія визначається на момент початку страхування – називається – сучасної (наведеної, дисконтованої) вартістю майбутньої пенсії й розраховується актуарно по формулі:

де – одноразова нетто-премія (пренумерандо) пенсійного контракту;

– кількість років до пенсії;

– для жінок;

– для чоловіків.

- майбутня додаткова пенсія

C₁

C₂

C₃

C₄

C₁₀

_nП_x

1 2 3 9 10

k – кількість років n – кількість

до пенсії пенсійних виплат

Схема нагромадження й виплати додаткової пенсії при одноразовому внеску.

Своєчасна сплата страхувальником страхової премії (внесків) є основним його зобов'язанням перед страховою організацією.