- •Г.В. Бабенко Математическая экономика
- •Г.В. Бабенко
- •Предисловие
- •Глава 1 посвящена вопросам финансовых вычислений - процентные вычисления, дисконтирование, расчет доходности в случае совершения операций несколько раз в году.
- •Глава 4 раскрывает подходы к расчетам, применяемым при определении параметров сделок по краткосрочному и долгосрочному страхованию жизни.
- •Введение
- •1. Финансовые вычисления
- •Проценты простые
- •1.1.1. Наращивание по простой процентной ставке
- •1.1.2 Сложные проценты
- •1.1.3 Наращивание по сложным процентам
- •1.1.4 Определение суммы по смешанным процентным ставкам
- •1.1.5 Эквивалентная ставка
- •1.1.6 Номинальная ставка
- •1.1.7 Эффективная ставка
- •1.2 Математическое дисконтирование и банковский учёт
- •1.2.1 Математическое дисконтирование
- •1.2.2 Банковский учёт или учёт векселей
- •1.3 Учёт платёжного обязательства с начислением простых процентов.
- •1.3.1 Наращение по простой процентной ставке
- •1.3.2. Дисконтирование по сложным годовым учётным ставкам
- •1.3.3 Наращение по сложным учётным ставкам
- •1.3.4 Наращение по сложной учётной ставке m раз в году.
- •Вопросы и задачи:
- •2. Наращение процентов и инфляция.
- •2.1. Консолидация платежей
- •2.2 Методы составления планов погашения обязательств
- •2.3 Обыкновенная годовая рента
- •2.4 Оценки инвестиционных проектов
- •2.4.1 Внутренняя норма окупаемости
- •2.4.2 Граничный дисконтный множитель
- •2.5 Барьерная ставка
- •Вопросы и задачи:
- •3. Риски и их измерители
- •3.1. Методы уменьшения финансового риска
- •3.2. Оптимизация портфеля ценных бумаг
- •Вопросы и задачи:
- •4. Распределение рисков в страховании
- •4.1. Актуарная математика
- •4.2 Основные вероятностные характеристики продолжительности жизни
- •4.3. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни
- •Откуда получим, что
- •4.4 Анализ модели долгосрочного страхования
- •Вопросы и задачи
- •5. Линейное программирование
- •5.1 Основные понятия математического программирования экономических процессов
- •5.1.1 Исследование операций. Оптимальное решение.
- •5.1.2 Классификация оптимизационных методов и моделей
- •5.1.3 Основные понятия и этапы построения оптимизационных моделей
- •5.1.4 Примеры задач линейного программирования
- •5.1.5 Общая постановка задачи линейного программирования
- •5.1.6 Теоретические основы методов линейного программирования. Выпуклые множества точек
- •5.2 Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •5.2.1 Свойства задачи линейного программирования
- •5.2.2Геометрическое изображение системы ограничений.
- •5.3 Симплексный метод
- •5.3.1 Геометрическая интерпретация симплексного метода
- •5.3.2 Аналитические методы поиска оптимального решения
- •5.3.3. Симплексные таблицы
- •5.3.4 Метод искусственного базиса
- •5.4 Двойственные задачи
- •5.4.1 Экономическая интерпретация двойственной задачи
- •5.4.2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства
- •5.4.3 Первая теорема двойственности
- •5.4.4 Вторая теорема двойственности
- •5.5 Транспортная задача.
- •5.5.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •5.5.2 Нахождение первоначального базисного распределения поставок
- •5.5.3. Поиск оптимального решения методом потенциалов.
- •5.6. Открытая модель транспортной задачи.
- •Вопросы и задачи:
- •6. Управление запасами
- •6.1 Модели управления запасами в экономике
- •6.2 Управление запасами при случайном спросе и задержке в поставках
- •Вопросы и задачи.
- •Заключение
- •Библиографический список
2.4.1 Внутренняя норма окупаемости
Показатель NPV не всегда удобен для оценки инвестиционных проектов, так как отвечает только на один вопрос: является ли объект доходным при данной ставке доходности. Если необходимо дать заключение с иной ставкой, то NPV надо рассчитывать снова. Один и тот же инвестиционный проект при различных ставках дохода может быть и рентабельным, и убыточным. Граничным значением является внутренняя норма окупаемости.
NPV(d = IRR) = 0
характеризует величину доходности, при котором чистая текущая стоимость равна нулю.
2.4.2 Граничный дисконтный множитель
IRR – внутренняя норма окупаемости,
V = 1-IRR.
Норма окупаемости является уникальной величиной для данного инвестиционного проекта, поэтому данный показатель является основным измерителем эффективности инвестиций.
Найти IRR. Для решения подобных задач в электронных таблицах Excel есть стандартная финансовая функция НОРМА (K,R,C) = IRR. Наряду с названными показателями важное значение имеет динамика потоков доходов и инвестиций во времени. Обычно анализируют так называемый двусторонний поток платежей, элементы которого соответствуют доходам. Наглядную характеристику инвестиционного проекта даёт показатель текущей окупаемости, который определяет срок, в течение которого текущая стоимость доходов сравнивается с текущей стоимостью инвестиций при заданном уровне процентной ставки. Иными словами, текущая окупаемость характеризует срок, при котором достигается доходность, равная заданной ставке дисконтирования.
Сопоставление текущей окупаемости со сроком жизненного срока инвестиций даёт представление о возможности получения дохода.
2.5 Барьерная ставка
Барьерная ставка – это процентная ставка, определяющая для данного инвестора min ожидаемую отдачу от инвестиции. Барьерная ставка при расчётах обычно содержит два компонента.
i = i0 + rp,
i0 – свободная от риска ставка,
rp – рисковая страховая премия.
Безрисковая ставка – доход от инвестиции в отсутствии всех рисков. За безрисковую ставку обычно принимается доходность правительственных ценных бумаг. Инвесторы требуют страховую премию в качестве компенсации за инвестиционный риск. Размер страховой премии зависит от ряда условий, так как ожидаемый доход и риск потерь инвестиций. В электронных таблицах имеются встроенные функции для расчёта NPV и внутренней нормы доходности. Функция ЧИСТНЗ (ставка, значение, даты). Ставка – ставка дисконтирования, значение – ряд поступлений денежных средств, даты – перечисление дат платежей.
ЧИСТВНДОХ(значение, даты, прогноз).
Значение – ряд, поступлений денежных средств, даты – расписание дат платежей, прогноз – предполагаемый результат. Все расчёты ведутся, исходя из года 365 дней.
Вопросы и задачи:
Задача 1. На сумму 15 тыс. руб. в течение 3 месяцев начисляются простые проценты по ставке 30% годовых (К год = 360). Ежемесячная инфляция составляет 3%. Определите погашенную (реальную с учётом обесценивания) сумму.
Задача 2. Месячный темп инфляции составляет 5%. Определить: а) полугодовой и б) годовой темп инфляции.
Задача 3. Определить реальную годовую ставку доходности, если годовая процентная ставка равна 60%, а месячный темп инфляции составляет 3%.
Задача 4. Решено консолидировать 3 платежа со сроками 17 мая, 17 июня и 17 августа. Сумма платежей соответствует 10б 20б 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31 августа. Определите сумму консолидированного платежа при условии, что ставка процентов равна 10% годовых.
Задача 5. Какими суммами следует погашать долг 100 тыс. руб. при условии, что средний срок долга составляет 5 лет, ставка простых процентов – 40% годовых, а долг погашается равномерными платежами в конце каждого года.
Задача 6. Для покупки и запуска оборудования по производству нового продукта требуются капиталовложения в размере С = 1000 тыс. руб. Ожидаемый ежегодный доход от реализации этого продукта после налогообложения (т.е. чистый доход) равен R = 200 тыс. руб. Найти срок окупаемости этого инвестиционного проекта равен.
Задача 7. Для организации бизнеса требуются капиталовложения в размере С = 500 тыс. руб. Ожидаемый годовой доход от бизнеса после налогообложения (чистый доход) равен R = 200 тыс. руб. Найти срок окупаемости проекта.
Задача 8. Для данных задачи 7 (С = 1000 тыс. руб, R = 200 тыс. руб.) зададим срок инвестиционного проекта равным 7 годам, а ставку дисконтирования примем равной 10% (i = 0,1). Найти чистую текущую стоимость поступлений и чистую текущую стоимость проекта.
Задача 9. Для данных задачи 8 срок инвестиционного проекта 6 лет, а ставку дисконтирования примем равной 15% (i = 0,15). Найти чистую текущую стоимость проекта.
Задача 10. Найти показатель доходности для данных задачи 8 для сроков 6 и 7 лет.
Задача 11. Вычислить внутреннюю норму окупаемости для данных задачи 44 (С = 1000 тыс. руб., R = 200 тыс. руб., Т = 7 лет).