1.1.2 Сложные проценты

При средних и долгосрочных (больше 3 лет) операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга (для наращения применяются расчёты с использованием сложных процентов). В соответствии с этим процесс роста первоначальной суммы происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что начисленные проценты присоединяются к сумме первоначального сдвига, который служит базой для их вычисления (процесс называется капитализацией процентов). Наращивание по сложным процентам можно рассматривать как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на первый период инвестирования.

1.1.3 Наращивание по сложным процентам

Пусть проценты капитализируются один раз в год (годовые проценты) на протяжении n лет, тогда в конце 1-го года проценты равны P_i, следовательно, S=P+P_i =p*(1+i); к концу 2-го года она достигнет величины: P*(1+i)+(P*(1+i)*i=P*(1+i)² ,таким образом. к концу n-го года

S=P*(1+i)ⁿ

(1+i)ⁿ – множитель наращения сложных процентов

Задача 3

S-? P=10000, n=5, i=10%

S=10000*(1+0.1)⁵ =16105 р.

Ответ: 16105 р.

1.1.4 Определение суммы по смешанным процентным ставкам

Наращивание по смешанным ставкам применяется, если n- не целое число. В этом случае

Сопоставление формул простых и сложных процентов позволяет сделать вывод:

-если n<1, то 1+n_i>(1+i)ⁿ, т.е. сложные проценты меньше простых

-если n=1, то 1+n_i=(1+i)ⁿ

-если n>1, то 1+n_i<(1+i)ⁿ

1.1.5 Эквивалентная ставка

Запишем равенство

1+ni_p =(1+i_c )ⁿ

i_p – ставка простых процентов

i_c – ставка сложных процентов

i_p =((1+i_c )ⁿ –1)/n

i_c = - 1

Эквивалентные ставки единственно зависят от срока начисления n.

Задача 4

8-ми сл. процентов годовых на 4 года. Чему эквивалентны ставки i_p -?

i_p = (1+0.08)⁴ –1)/4

1.1.6 Номинальная ставка

В современных условиях проценты капитализируются больше, чем один раз в году. В условиях инфляции проценты начисляются даже ежедневно, поэтому годовая ставка будет называться номинальной ставкой процентов и обозначается j. При m раз начисления процентов в году ставка, начисляемая в периоде, равна j/m

S=p(1+j/m)^n*m.

Увеличение m приводит к более быстрому процессу наращивания, так как капитализация происходит очень часто, поэтому на таких условиях нельзя допускать возможности размещения капитала на большой срок.

Задача 5

S - ? P=10⁴ n=5 j=10% в квартал

S=10⁴ (1+0,1/4)²⁰ =16386

1.1.7 Эффективная ставка

Показывает, какая годовая ставка даёт тот же процент, что и m разовых наращиваний в десятидневные поставки j/m. Эффективную ставку обозначают через i, так как она является годовой. Приравняем множители наращивания для сложных процентов и для номинальной ставки. Откуда

Как видно, при m > 1 эффективная ставка больше номинальной, при m=1 – равна ей: i = j.

Замена в договоре j при m-разовом наращивании начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств, так как обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Задача 6

Чему равна годовая процентная ставка?

i-?

j=25% при помесячном начислении

i = (1+0,25/12)¹² =28%

Иногда возникает обратная задача:

Определить j

.