Вопросы и задачи.

1. На нефтебазу бензин привозят на танкере. Накладные расходы g в расчете на партию бензина составляют 50 000 руб. Ежесуточно база отпускает  = 4000 т бензина. Затраты на хранение h примем равными 0,5 руб. за 1 т бензина в сутки. Поставка осуществляется по первому требованию — мгновенно, и дефицит бензина на базе не допускается. Найдите оптимальные: объем заказываемой партии q, длительность цикла T* работы системы и общие среднесуточные издержки .

2. При закупке за рубежом завода по производству электроваку­умного оборудования возник вопрос о приобретении запасных час­тей. Комплекты запасных частей включают в себя кроме деталей и узлов, которые наиболее часто выходят из строя, приборы и элект­ронное оборудование, обеспечивающие соблюдение технологическо­го процесса.

Стоимость хранения запасных частей и проведения профилакти­ческих работ в расчете на один комплект составляет h_Т= 1000 руб. В случае выхода из строя оборудования и нехватки запасных частей завод терпит убытки в размере Р_T = 10 000 руб. на каждый недостаю­щий комплект оборудования. Стоимость одного комплекта запчас­тей с = 2000 руб. Накладные расходы при доставке оборудования со­ставляют g = 3000 руб. Опыт эксплуатации подобных предприятий показал, что необходимое число комплектов запасного оборудова­ния — случайная величина с рядом распределения

X	о	1	2	3
Р(Х)	1/4	1/4	1/4	1/4

Найдите — стратегию пополнения запасов. Чему равны минимальные общие издержки, если начальный уровень запасов у = 0 либо у = 2, а их поставка мгновенна?

3. Завод строительных материалов по договору с мостостроитель­ной организацией должен поставить партии строительных конструк­ций (ферм) в следующих количествах: в сентябре — 30, в октябре — 20, в ноябре — 20, в декабре — 10. Производство каждой фермы об­ходится в 1000 руб., а издержки ее хранения равны: в сентябре и ок­тябре — 100 руб., в ноябре и декабре — 200 руб. Затраты на запуск производства ферм в сентябре и октябре составляют 100 руб., в нояб­ре — 0 руб., в декабре — 2000 руб. Ограничения на производственные мощности и объемы складских помещений таковы: х_k . 40, у_k  20, начальный и конечный объем запасов yq = у^ = 1. Составьте опти­мальный план производства, если его объем кратен 10.

4. В августе ежедневно из овощехранилища отгружают 50 т арбу­зов в магазин «Овощи-фрукты». Накладные расходы в расчете на партию арбузов, доставляемых в овощехранилище, составляют g = 500 руб. Издержки хранения скоропортящихся продуктов равны h = 5 руб. за 1 т в сутки. Партию арбузов подвозят и разгружают с интенсивностью ^ = 200 т/сут. Найдите оптимальный объем партии арбузов, привозимой в овощехранилище, периодичность Г* попол­нения запасов. Определите общие среднесуточные затраты при объе­мах партий <?, = 60 т, q-J = 200 т и сравните их с оптимальными средне­суточными издержками L\, если дефицит не допускается. Постройте график изменения запасов арбузов в^ хранилище.

5. Найдите критические уровни У* и у в статической модели уп­равления запасами с вероятностным спросом и отсутствием задержек в поставках. Функции издержек хранения и дефицита линейны. Па­раметры задачи: h_T = 6, с = 1, p_T = 8, g = 2, а распределение спроса имеет вид

X	1	2	3	4	5
P(X)	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

6. Решите динамическую задачу управления запасами при следующих исходных данных: план поставок (d ₁, d ₂) = (2; 5); функция затрат

Ограничения: y ₀ = y ₂ = 0.

7. Металлургическому заводу для выплавки высоколегированной стали необходимо ежедневно  = 100 т чугуна. Накладные расходы на запуск производства, доставку партии составляют g = 5000 руб. Хранение одной тонны чугуна в сутки обходится объединению в h = 2,5 руб. Штрафные потери за нехватку одной тонны чугуна в сут­ки составляют р = 50 руб. Рассчитайте оптимальный объем партии чугуна. Найдите периодичность пополнения, среднесуточные общие издержки, если поставка осуществляется мгновенно. Начертите гра­фик изменения запасов чугуна.

8. Решите задачу 5 при условий, что спрос — непрерывная случай­ная величина с плотностью

9. Завод резинотехнических изделий (РТИ) в сентябре, октябре и ноябре, в соответствии с пакетом заказов, должен отправить 2; 2; 3 ре­зиновых настила для сельскохозяйственных предприятий. Стоимость настила - 1000 руб. Стоимость переналадки оборудования в сентябре и ноябре равна 1000 руб., а в октябре — 0 руб. Издержки хранения од­ного настила в сентябре составляет 100 руб., а в октябре и ноябре — 200 руб. Не будем учитывать время, необходимое для производства настилов. Завод РТИ не может производить более пяти настилов ежеме­сячно. Складские помещения не позволяют хранить более трех настилов одновременно. Определите оптимальный план производства и мини­мальные затраты, если уровень запасов в начале сентября и конце ноября должен быть равен нулю.

10. Электроламповый завод выпускает электрические лампы днев­ного освещения большими партиями. Цена переналадки линии равна 2000 руб. Изготовление каждой лампы обходится в 1 руб. Издержки хранения 1000 ламп в течение одного месяца равны 100 руб. Соглас­но производственному графику должно быть поставлено следующее количество ламп: в январе — 10 000, в феврале — 20 000, в марте — 30 000. Время, необходимое для производства партии ламп, учиты­вать не будем. Производственные мощности не позволяют изготов­лять за месяц более 30 000 ламп, а складские помещения не могут вме­щать более 20 000 ламп. Найдите оптимальный план производства ламп, если в начале января и конце марта уровень запасов должен быть равен нулю. Объем производства ламп в каждом месяце кратен 10 000 штук.

11. Как изменится алгоритм решения динамической задачи управ­ления запасами, если уровень запасов в течение этапа определяется уровнем запасов на начало каждого месяца? Решите любую задачу с учетом этого условия.

12. Автомобильный завод выпускает различные модели автомо­билей. Стоимость переналадки контейнерной линии —g _k стоимость производства автомобиля —с _k издержки хранения автомобиля в те­чение месяца — h _k; объемы поставок d _k согласно производственному графику приведены в таблице:

Показатели, тыс. руб.	Январь	Февраль	Март
g k	1	1	2
c k	2	1	1
h k	0,01	0,01	0,01
d k	3	1	2

Производственные мощности выпуска автомобилей ограничены — не более 3000 штук в месяц. На территории завода не могут одновре­менно находиться более 3000 автомобилей. Найдите оптимальный план производства, если у ₀ = у ₃ = 0.

13. Часовой завод по договору с торгующими организациями дол­жен в январе, феврале и марте поставить следующие партии часов:

1000, 3000 и 2000 штук. Стоимость переналадки конвейерной линии равна 10 000 руб. Производство одних часов обходится в 20 руб., а хранение 1000 штук часов в течение месяца оценивается в 1000 руб. Ограничения (в штуках): х _k  30 000, у _k  30 000, y ₀ = 2000, у ₃ = 1000. Составьте оптимальную программу выпуска часов, если объем их производства в каждом месяце кратен 1000 штукам.

14. Постройте рекуррентное соотношение динамической задачи управления запасами при условии, что объем запаса в течение этапа определяется по среднему уровню (у _k + у _k)/2, где k = 1,..., п. Решите одну из приведенных динамических задач, принимая во внимание указанное замечание.

15. Попытайтесь модифицировать динамическую модель управ­ления запасами предприятия, допустив возможность дефицита. Од­нако за нехватку одного изделия в конце этапа необходимо устано­вить штраф р _k. Как изменятся ограничения на объемы производства х _k и уровни хранения дефицита у _k в каждом месяце? Каковы дальней­шие изменения работы предприятия, необходимые для удовлетворе­ния отложенного спроса? Существенно ли изменится алгоритм реше­ния задачи? Сформулируйте и решите динамическую задачу управле­ния запасами с учетом возможного дефицита.

16. Попытайтесь упростить алгоритм решения динамической мо­дели управления запасами, если функция производственных затрат выпукла или вогнута. Проведите анализ решения этой задачи с уче­том дополнительных условий, изложенных в задачах 11, 14, 15. 17. Автомобильному заводу для бесперебойной работы конвейера требуется в сутки 800 кузовов новой модели автомобиля. Накладные расходы на запуск производства и доставку партии кузовов автомо­билей с завода составляют 8000 руб. Разгрузка и содержание одного кузова в сутки обходятся объединению в 5 руб., а штрафные потери за нехватку одного кузова в сутки составляют 80 руб. Доставка и раз­грузка кузовов осуществляются с интенсивностью 200 штук/сут. Най­дите оптимальный объем партии кузовов и определите соответству­ющие среднесуточные накладные расходы и издержки хранения.

18. Завод радиодеталей производит кинескопы для телевизоров. Ежедневно заводу телевизоров требуется 2000 кинескопов для рит­мичной и бесперебойной работы. Стоимость хранения одного кинес­копа на складе завода телевизоров в течение суток оценивается в 1 руб. Накладные расходы на запуск производства и доставку партии кинескопов на завод телевизоров равны 4000 руб. Найдите оптималь­ный объем партии кинескопов, если поставка осуществляется мгно­венно, а дефицит не допускается. Определите также оптимальные среднесуточные издержки хранения и периодичность пополнения.

19. Химзаводу ежедневно требуется 10 т соляной и 5 т серной кис­лот. Накладные расходы на доставку партии соляной кислоты состав­ляют 1000 руб., а серной — 125 руб. Издержки хранения серной и со­ляной кислот за 1 т в сутки составляют 2 руб. Определите оптималь­ные среднесуточные издержки на пополнение, хранение запасов и периодичность пополнения, если дефицит кислот недопустим, а по­ставки осуществляются мгновенно. Постройте графики изменения запасов соляной и серной кислот.

20. Нефтеперерабатывающее объединение приобретает танкер для перевозки сырой нефти. Запасные узлы, например рули, должны быть изготовлены вместе с самим кораблем, так как достать их в процессе эксплуатации танкера будет очень сложно. Стоимость изготовления одного руля равна 5000 руб. Согласно накопленному опыту, необхо­димость в узлах этого типа — случайная величина с рядом распреде­ления

X	0	1	2
P(X)	0,5	0,3	0,2

Напишите выражение для ожидаемых суммарных затрат на покуп­ку U запасных рулей и потерь, вызванных выходом из строя танкера, если ущерб из-за поломки руля составляет 25 000 руб. Определите также, сколько запасных рулей следует заказать.

21. Авиакомпания заказывает партию новых пассажирских само­летов. Если запасные части к двигателям самолетов приобретаются одновременно с самими самолетами, то цены на них ниже, чем при закупке аналогичных запасных частей по прошествии некоторого времени, когда у авиакомпании возникает в них острая нужда. Пред­положим, например, что покупная цена одной запчасти, приобрета­емой одновременно с самолетами, равняется c ₁, а покупная цена од­ной запчасти, заказываемой впоследствии, составляет с ₂, причем с ₁ < c ₂. Допустим, что каждую неиспользованную запчасть, которая останется на складе после того, как приобретаемые авиакомпанией самолеты будут сняты с эксплуатации, можно будет реализовать по цене v. Обозначим через р(Х) вероятность того, что за все время эксп­луатации приобретенных самолетов авиакомпании понадобятся зап­части в количестве Х штук.

Выведите формулу для ожидаемого значения суммарных затрат при закупке q запчастей одновременно с приобретением самолетов, если задержки в поставке отсутствуют.

Выведите соотношение, позволяющее определить оптимальное значение q. Сформулируйте самостоятельно некоторые предположе­ния относительно значения v.

22. Решение о замене конкретного оборудования определяется его производительностью, эксплуатационными расходами, остаточной стоимостью, которая зависит от его срока службы и покупной сто­имости. Пусть с _ij представляет собой сумму покупной стоимости и затрат на эксплуатацию нового оборудования начиная с i-го года, когда оно покупается, и кончая j-м, когда это оборудование заменя­ется, за вычетом его остаточной стоимости на начало i-го года. Обо­значим через F _k минимальные затраты в 1-м, ..., k-м годах в предпо­ложении, что в конце k-ro года оно заменяется. Объясните рекуррен­тное соотношение алгоритма динамического программирования для решения этой задачи:

.