5.1.5 Общая постановка задачи линейного программирования

Рассмотренные выше примеры задач линейного программирования позволяет сформулировать общую задачу линейного программирования.

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

(5.1.26)

и линейная функция

(5.1.27)

Необходимо найти такое решение системы Х = (х₁, х₂, …, x_j, …, x_n), где

(5.1.28)

при котором линейная функция F (5.1.27) принимает оптимальное (т.е. максимальное или минимальное) значение.

Система (5.1.26) называется системой ограничений, а функция F – линейной функцией, линейной формой, целевой функцией или функцией цели.

Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:

при ограничениях:

Вектор Х = х₁, х₂, …, x_n, удовлетворяющий системе ограничений (5.1.26), (5.1.28), называется допустимым решением, или планом задачи линейного программирования.

Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение Х = (х*₁, x*₂, …, x*_j, …, x*_n) системы ограничений (5.1.26), удовлетворяющее условию (5.1.28), при котором линейная функция (5.1.27) принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение.

Термины «решение» и «план» – синонимы. Однако первый используется чаще, когда речь идёт о формальной стороне задачи (её математическом решении), а второй – о содержательной стороне (экономической интерпретации).

При условии, что все переменные неотрицательны (x_j  0, j = 1, 2, …, n), система ограничений (5.1.26) состоит лишь из одних неравенств. Такая задача линейного программирования называется стандартной; если система ограничений состоит из одних уравнений, то задача называется канонической. Так, в приведённых выше примерах задач линейного программирования задачи 1 и 2 – стандартные, задача 4 – каноническая, а задача 3 – общая.

Любая задача линейного программирования может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче.

Представим стандартную задачу (5.1.10)-(5.1.12) в каноническом виде. С этой целью в каждое из m неравенств системы ограничений (5.1.10) введём дополнительные неотрицательные переменные x_n+1, x_n+2, …, x_n+m. В результате система ограничений (5.1.10) примет вид:

(5.1.29)

Таким образом, стандартная задача (5.1.10)-(5.1.12) в канонической форме формируется так: найти такое решение Х = (x₁, x₂, …, x_n, x_n+1, …, x_n+m), удовлетворяющее системе (5.1.29) и условию (5.1.11), при котором функция (5.1.12) принимает максимальное значение.

Замечание. В рассматриваемой задаче все неравенства вида  , поэтому дополнительные неотрицательные переменные вводились со знаком «+». В случае неравенств вида  [как, например, в задаче (5.1.16)-(5.1.18)] соответствующие дополнительные переменные следовало бы ввести со знаком «–».

5.1.6 Теоретические основы методов линейного программирования. Выпуклые множества точек

В школьном курсе математики выпуклыми назывались многоугольники, целиком расположенные по одну сторону прямых, на которых лежат их стороны.

C B D

B

M N

A D M N

C

E A E

а Рисунке 5.1.1 б

Например, многоугольник на рисунке 5.1.1, а - выпуклый, а многоугольник на рисунке 5.1.1, б не является выпуклым (он расположен по обе стороны от прямой ВС).

Общим определяющим свойством, которое отличает выпуклый многоугольник от невыпуклого, является то, что если взять любые две его точки и соединить их отрезком, то весь отрезок будет принадле­жать этому многоугольнику. Это свойство может быть принято за опре­деление выпуклого множества точек.

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с лю­быми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Согласно этому определению многоугольник на рисунке 5.1.1, а являет­ся выпуклым множеством, а многоугольник на рисунке 5.1.1, б таковым не является, ибо отрезок MN между двумя его точками М и N не полнос­тью принадлежит этому многоугольнику.

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние, граничные и угловые.

Точка множества называется внутренней, если в некоторой ее ок­рестности содержатся точки только данного множества

Точка множества называется граничной, если в любой ее окрест­ности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Особый интерес в задачах линейного программирования пред­ставляют угловые точки.

Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

B C

P M N

K

L D

A

E

Рисунок 5.1.2

На рисунке 5.1.2 приведены примеры различных точек многоугольника:

внутренней (точка М), граничной (точка N) и угловых (точки А, В, С, D, Е).

Точка А - угловая, так как для любого отрезка, целиком принадлежаще­го многоугольнику, например отрезка АР, она не является внутренней;

точка А - внутренняя для отрезка KL, но этот отрезок не принадлежит целиком многоугольнику.

Для выпуклого многоугольника угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника), в то же время для невы­пуклого множества это не обязательно. Так, на рисунке 5.1.3 точка А является вершиной невыпуклого многоугольника, но не угловой (она является внутренней для отрезка KL, целиком принадлежащего этому многоуголь­нику).

E B

K A L

B C

Рисунке 5.1.3

Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если су­ществует шар (круг) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным.

Если фигура ограничена только прямыми или их отрезками, то чис­ло ее угловых точек конечно; в случае криволинейности границ фигура содержит бесконечно много угловых точек, что позволяет сформулиро­вать следующее определение: выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости), имеющее конечное число угловых точек, на­зывается выпуклым многогранником (многоугольником), если оно ограниченное; и выпуклой многогранной (многоугольной) облас­тью, если оно неограниченное.

До сих пор рассматривались выпуклые множества точек на плос­кости и в пространстве. Аналитически такие точки изображаются упоря­доченной парой чисел (х₁, х₂). Понятие точки можно обобщить, под­разумевая под точкой (или вектором) упорядоченный набор n чисел Х= (x₁, x₂, …, x_j, …, x_n), в котором числа х₁, х₂, ...,х_n называются координата­ми точки (вектора). Такое обобщение имеет смысл, так как если взять какой-либо объект, то для его характеристики двух-трёх чисел обычно бывает недостаточно и необходимо взять n чисел, где n > 3.

Множество всех точек Х = (х₁, х₂, …, х_n) образует n-мерное точечное (векторное) пространство. При n > 3 точки и фигуры n-мерного пространства не имеют реального геометрического смысла и все исследования объектов этого пространства необходимо проводить в аналитической форме. Тем не менее оказывается целесообразным и в этом случае использовать понятия для облегчения представлений об объектах n-мерного пространства.

Ранее выпуклое множество точек определялось как множество, которое вместе с любыми своими двумя точками содержит весь отрезок, их соединяющий. Однако в случае n переменных не ясно, что следует понимать под «отрезком» в n-мерном пространстве. Очевидно, надо дать аналитическое определение этого понятия.

Начнём с n = 2 (двумерного пространства, плоскости). Пусть

и

точки плоскости Ox₁, x₂, а Х = (х₁, х₂) – любая точка отрезка X₁, X₂ (рис.5.1.4).Очевидно, что отношение  длин отрезков ХХ₂ и Х₁Х₂ удовлетворяет условию 0    1. Запишем это отношение  через координаты точек. Получим

откуда

(5.1.30)

где

0    1. (5.1.31)

Полагая ₁ =  и ₂ = 1 – , условия (5.1.30), (5.1.31) примут вид

(5.1.32)

X ₂

X ₂

X = (x₁, x₂)

0 X ₁

Рисунке 5.1.4

₁ 0, ₂  0, ₁ + ₂ = 1. (5.1.33)

Равенство (5.1.32) можно записать в виде

, (5.1.34)

понимая, что в нём все операции выполняются покоординатно (т.е. отдельно по переменной х₁ и отдельно по переменной х₂).

Таким образом, отрезок Х₁Х₂ можно определить как множество точек (векторов), удовлетворяющих условиям (5.1.34) и (5.1.33).

В случае n-мерного пространства определение отрезка будет таким же – множество точек, удовлетворяющих условиям (5.1.34) и (5.1.33), если под Х₁ и Х₂ подразумевать точки (векторы) n-мерного пространства:

и .

Обобщением понятия отрезка для нескольких точек является их выпуклая линейная комбинация.

Точка Х называется выпуклой линейной комбинацией точек х₁, х₂, …, х_n, если выполняются условия:

,

.

Так, например, выражение (1/6)Х₁ + (1/2)Х₂ + (1/3)Х₃ есть выпуклая линейная комбинация точек Х₁, Х₂, Х₃, а выражения

(1/3)Х₁ + (1/2)Х₂ + (1/3)Х₃ или (1/3)Х₁ – (1/2)Х₂ + (7/6)Х₃

являются линейными, но не выпуклыми комбинациями тех же точек (в первом 1/3 + 1/2 + 1/3  1, а во втором ₂ = -1/2 < 0).

Очевидно, что в частном случае при n = 2 выпуклой линейной комбинацией двух точек является соединяющий их отрезок. Поэтому множество точек является выпуклым, если оно вместе с любыми своими двумя точками содержит их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Рассмотрим теорему о представлениях выпуклого многогранника.

Теорема 1.1. Выпуклый n-мерный многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.

Возьмём для простоты n = 2, а в качестве многогранника – треугольник Х₁Х₂Х₃ (рис 5.1.5). Через произвольную точку Х треугольника проведём отрезок Х₁Х₂. Поскольку точка Х лежит на этом отрезке, то

Х = ₁Х₁ + ₄Х₄,

где

₁  0, ₂  0, ₁ + ₄ = 1.

Точка Х₄ лежит на отрезке Х₂Х₃, следовательно,

Х₄ = ₂Х₂ + ₃Х₃,

где

₂  0, ₃  0, ₂ + ₃ = 1.

Подставив значение Х₄ в выражение для Х, получим

Х = ₁Х₁ + ₄(₂Х₂ + ₃Х₃) = ₁Х₁ + ₂₄Х₂ + ₃₄Х₃.

Х₂

Х₁

Х

Х₄ Х₃

Рисунке 5.1.5

Обозначив t₁ = ₁, t₂ = ₂₄, t₃ = ₃₄, получим окончательно

Х = t₁X₁ + t₂X₂ + t₃X₃,

где

t₁  0, t₂  0, t₃  0 и t₁ +t₂ +t₃ =1.

Таким образом, точка Х есть выпуклая линейная комбинация угловых точек (вершин) треугольника Х₁, Х₂, Х₃.

Из теоремы 1.1 следует, что выпуклый многогранник порождается своими угловыми точками или вершинами: отрезок – двумя точками, треугольник – тремя, тетраэдр – четырьмя точками и т.д. В то же время выпуклая многогранная область, являясь неограниченным множеством, не определяется однозначно своими угловыми точками: любую её точку нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек.