Вопросы и задачи

1.Дебитор заключил кредитный договор на 100 тыс. марок. Процентная ставка – 3%, ежегодный возврат кредита и процентов по нему – 6 тыс. марок. Через сколько лет клиент возвратит 40 % кредита?

2. Инвестор, имеющий 300 тыс. марок, может вложить свой капи­тал в акции А, В, С. Процентные ставки по акциям являются незави­симыми случайными величинами R_A, R_B и R_C. с математическими ожиданиями MR_A = 8%, MR_B = 10 %, MR_C = 12 % и стандартными отклонениями _A = 1 %, _B = 2 %, _C = 4 %. Как нужно скомбиниро­вать покупку разных акций, чтобы за первый год получить в среднем 30 тыс. марок дивидендов при минимальной дисперсии?

3. Каковы условия равновесия на финансовом рынке?

4. Заключен кредитный договор на 200 тыс. марок. В конце каж­дого года клиент должен выплачивать постоянную сумму Е (возврат части кредита и процентов по нему). Найти Е, если процентная став­ка равна 2,5 % и к концу пятого года клиент должен возвратить 40 % кредита.

5. Инвестор хочет вложить свой капитал, составляющий 300 тыс. марок, в акции автомобильного концерна А и строительного пред­приятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобрете­но по крайней мере в два раза больше, чем акций В. Кроме того, ак­ций В можно приобрести на сумму, не превышающую 160 тыс. марок. Дивиденды по акциям А составляют 8%, по акциям В — 10 %. Какую максимальную прибыль может получить инвестор за первый год?

6. Что такое интенсивность смертности и как она связана с оста­точным временем жизни?

7. Как определяется нетто-премия в моделях краткосрочного и долгосрочного страхования жизни?

8. Как определяется страховая надбавка в моделях краткосрочно­го и долгосрочного страхования жизни?

9. В компании застраховано 4000 человек с вероятностью смерти в течение года q = 0,003. Компания выплачивает сумму b = 3000 руб. в случае смерти застрахованного лица в течение года и не платит ниче­го в противном случае. Определить величину капитала, достаточную для обеспечения вероятности разорения 0,005.

10. Продолжительность жизни описывается моделью Вейбулла со значениями параметров и = 1 и q = 6400. Эффективная годовая про­центная ставка — 20%. Найти актуарную современную стоимость страхового пособия в момент заключения договора с человеком в возрасте 50 лет при 10-летнем исключительно накопительном стра­ховании жизни.

5. Линейное программирование

5.1 Основные понятия математического программирования экономических процессов

5.1.1 Исследование операций. Оптимальное решение.

Исследование операций - научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффек­тивного управления различными организационными системами.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчи­няющийся определенным закономерностям. Их знание помогает оп­ределить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие про­цесс и внешние условия, должны быть количественно определены, из­мерены. Цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

При решении конкретной задачи управления применение методов исследования операций предполагает:

• изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оце­нивать преимущество того или иного варианта действия;

• постановку задачи принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности.

Примерами задач исследования операции, отражающих его спе­цифику, могут служить следующие задачи.

Задача 1.1. Для обеспечения высокого качества выпускаемых из­делий на заводе организуется система выборочного контроля. Требу­ется выбрать такие формы его организации (например, назначить раз­меры контрольных партий, указать последовательность контрольных опе­раций, определить правила отбраковки), чтобы обеспечить качество при минимальных расходах.

Задача 1.2. Для реализации определенной партии сезонных това­ров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать та­кие параметры сети (число точек, их размещение, количество персо­нала), чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Задача 1.3. К заданному сроку необходимо провести массовое медицинское обследование группы населения в целях выявления определенных заболеваний. На обследование выделены материальные средства, оборудование, персонал. Требуется разработать такой план обследования (установить число медпунктов, их размещение, вид и количество анализов), чтобы выявить как можно больший процент из числа заболевших.

Необходимо отметить также задачи об использовании ресурсов (планирования производства), о смесях, об использовании мощностей (загрузке оборудования), о раскрое материалов, транспортную задачу и др., в которых требуется найти решение, когда некоторый критерий эффективности (например, прибыль, выручка, затраты ресурсов и т.п.) принимает максимальное или минимальное значение.

Приведенные задачи относятся к разным областям практики, но в них есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-то управляе­мом мероприятии (операции), преследующем определенную цель. В задаче 1.1 - это организация выборочного контроля в целях обеспече­ния качества выпускаемой .продукции; в задаче 1.2 - организация вре­менных торговых точек в целях проведения сезонной распродажи; в задаче 1.3- массовое медицинское обследование в целях определе­ния процента заболевших. В каждой задаче заданы некоторые условия проведения этого мероприятия, в рамках которых следует принять ре­шение - такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду. Условиями проведения операции в каждой задаче оказываются средства, которыми мы располагаем, время, оборудование технологии, , решение в задаче 1.1 заключается в выборе формы контроля - размера контрольных партий, правил отбраковки; в задаче 1.2 - в выборе числа точек размещения, количества персонала; в задаче 1.3 - в выбо­ре числа медпунктов, вида и количества анализов.

Следует усвоить основные понятия и определения исследования операций.

Операция - любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведе­ния, организации, иначе - от выбора некоторых параметров.

Всякий определенный выбор параметров называется решением. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным сооб­ражениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей иссле­дования операций является предварительное количественное обосно­вание оптимальных решений.

Замечание 1. Следует обратить внимание на постановку пробле­мы: само принятие решений выходит за рамки исследования опера­ций и относится к компетенции ответственного лица или группы лиц, которые могут учитывать и другие соображения, отличные от математи­чески обоснованных.

Замечание 2. Если в одних задачах исследования операций при­емлемым является решение, при котором некоторый критерий эффек­тивности принимает максимальное или минимальное значение, то в других задачах это вовсе не обязательно. Так, в задаче 1.2 приемле­мым можно считать такое количество торговых точек и персонала в них, при котором среднее время обслуживания покупателей не превысит, например, 5 мин, а длина очереди в среднем в любой момент окажет­ся не более 3 человек.

Модель и эффективность операции. Для применения количе­ственных методов исследования требуется построить математическую модель операции. При построении модели операция, как правило, уп­рощается, схематизируется, схема операции описывается с помощью того или иного математического аппарата. Модель операции - это описание операции с помощью математического аппарата (различно­го рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.). Составление модели операции требует понимания сущности описыва­емого явления и знания математического аппарата.

Размышляя над организацией операции, мы стремимся сделать ее наиболее эффективной. Под эффективностью операции понимает­ся степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее. Что­бы судить об эффективности операции и сравнивать между собой эф­фективность различно организованных операции, нужно иметь некото­рый численный критерий оценки, или показатель эффективности. Конк­ретный вид показателя эффективности зависит от специфики рассмат­риваемой операции, ее целевой направленности, а также от задачи исследования, которая может быть поставлена в той или иной форме.

Эффективность операции количественно выражается в виде критерия эффективности - целевой функции. Например, в задаче об использовании ресурсов критерий эффективности - прибыль от реали­зации произведенной продукции, которую нужно максимизировать, в задаче транспортного типа - суммарные затраты на перевозку грузов от поставщиков к потребителям, которые также нужно минимизировать. Вы­бор критерия эффективности определяет практическую ценность ис­следования. (Неправильно выбранный критерий может принести вред, ибо операции, организованные под углом зрения такого критерия эф­фективности, приводят порой к неоправданным затратам).

Общая постановка задачи исследования операции. В даль­нейшем важно усвоить методологию построения моделей задач и ис­следования операций. Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

• внешние факторы (условия проведения операции), на ко­торые мы влиять не можем. Обозначим их через ₁, ₂, …;

• зависимые факторы (элементы решения) х₁, х₂, …, кото­рые в известных пределах мы можем выбирать по своему усмотрению.

Например, в задаче об использовании ресурсов к внешним факто­рам следует отнести запасы ресурсов каждого вида, производствен­ную матрицу, элементы которой определяют расход сырья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого вида. Элементы решения - план выпуска продукции каждого вида.

Величина критерия эффективности, выражаемая некоторой функ­цией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэто­му целевую функцию Z можно записать в виде

.

Все модели исследования операций могут быть классифицирова­ны в зависимости от природы и свойств операции, характера решае­мых задач, особенностей применяемых математических методов.

Следует отметить прежде всего большой класс оптимизацион­ных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономическими. Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные x₁, x₂, … x_n, удовлетворяющие систе­ме неравенств (уравнений)

, (5.1.1)

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

. (5.1.2)

[Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ог­раничения (5.1.1)].

Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных x₁, x₂, …, x_n представляется точкой n-мерного пространства. В дальней­шем эту точку будем обозначатьX = (x₁, x₂, …, x_n), а само оптимальное решение X* = (x*₁,x*₂, …, x*­_n).

Рассмотрим еще одну, характерную для исследования операций, задачу - классическую задачу потребления, имеющую важное значение в экономическом анализе.

Пусть имеется n видов товаров и услуг, количества которых (в нату­ральных единицах) x₁, x₂, …, x_n по ценам соответственно p₁, p₂, …, p_n за еди­ницу. Суммарная стоимость этих товаров и услуг составляет

.

Уровень потребления определяется функцией , на­зываемой функцией полезности. Необходимо найти такой набор това­ров и услуг x₁, x₂, …, x_n при данной величине доходов I, чтобы обеспечить максимальный уровень полезности, т. е.

(5.1.3)

при условии

(5.1.4)

(5.1.5)

Решения этой задачи, зависящие от цен p₁, p₂, …, p_n и величины дохода I X* = X*(p,i), называются функциями спроса.

Очевидно, что рассмотренная задача потребления (5.1.3)-(5.1.5) так же, как и многие другие, является частным случаем сформулированной выше общей задачи (5.1.1)-(5.1.2) на определение экстремума функции n переменных при некоторых ограничениях.

В тех случаях, когда функции f и ₁ в задаче (5.1.1) - (5.1.2) хотя бы дваж­ды дифференцируемы, можно применять классические методы опти­мизации, т.е. решать задачу классическими методами дифференциаль­ного исчисления. Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограничено, так как задача определения условного экстремума функции n переменных технически весьма трудна: методы дают возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) зна­чения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким, тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений.

Напомним определение глобального экстремума. Функция z = f(X) имеет в точке Х° заданной области D глобальный максимум (наиболь­шее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство f (X) < f (Х°) или f(X) > f(X°) соответственно выполняется для любой точки X, принадлежащей области D. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента диск­ретно или функция Z задана таблично. В общем случае для решения задачи (5.1.1)-(5.1.2) применяются методы математического программи­рования.