4.4 Анализ модели долгосрочного страхования

Рассмотрим модель финансовой деятельности компании, имеющей N страховых договоров t₀, и предположим, что в этот момент премии p по страховым договорам внесены полностью. Обозначим через T_k время выплаты пособия по k-му договору, а через b_k – величину этого пособия. В момент t₀+0 капитал компании равен:

,

где P_k – плата за k-й договор.

Проанализируем динамику компании U(t), расположим T_k в порядке возрастания и получим вариационный ряд: 0<T₍₁₎T₍₂₎…T_(N). В промежутках (T_k, T_k+1) капитал возрастает по закону U(T_(k)+t)=U(T_(k))(1+i)^t, где i- ставка процента, не зависящая от времени.

В момент T_k+1 значение U(t) уменьшается на величину страховой выплаты:

.

Если окажется, что в некоторый момент времени T_(k) величина U(T_(k+1)–0) окажется меньше величины b_(k), то компания не сможет выплатить нужную сумму, что означает разорение. Рассмотрим изменение величины U(T), при котором компания не разоряется. В момент времени T₍₁₎ – 0 компания располагает капиталом

U₀(1+i)T₍₁₎ .

При этом выполняется соотношение:

.

В момент времени T₍₁₎ + 0 компания имеет сумму

,

т. е. она делает страховую выплату.

В момент T₍₂₎-0 компания располагает капиталом

,

при этом условие «неразорения»

.

В момент времени T₍₂₎ + 0 капитал компании составит сумму

.

В момент времени T_(N-1) – 0 компания будет располагать средствами:

.

Условие «неразорения»:

.

И тогда в момент времени T_(N) – 0 капитал составит:

.

Условие «неразорения» на T_(N) – 0:

Капитал должен соответствовать системе уравнений:

k=1…0

Компания не разорится, если будет выполнено N неравенств.

Разделив правую и левую части на (1+i), получим:

,

k=1…N

- множитель дисконтирования

В таком виде все предыдущие неравенства будут справедливы, если будет выполнено неравенство при k=N, т. е.

• условие «неразоримости».

, тогда

,

Z_k – сумма выплаты по k-ому договору, приведённая к моменту Т=0. Таким образом «неразорение» компании выглядит следующим образом:

.

Вероятность разорения компании задаётся формулой:

.

Эта формула аналогична формуле для вероятности разорения компании при краткосрочном страховании.

Величина U₀ играет роль суммарного капитала, а величина Z_k - убытка по k-тому договору. Таким образом при расчёте вероятности разорения по долгосрочному страхованию всё происходит также как и при краткосрочном страховании с убытками Z_k при этом НСПО – премия для k-го договора будет выглядеть следующим образом:

(P_k)ⁿ=MZ_k.

А относительная страховая надбавка может быть определена формулой

.

Как было описано в вводном замечании актуарной математики, продолжительность жизни для цели страхования описывается функциями _(t) и b_(t). Предположим, что

• приведённая стоимость страхового пособия на момент заключения страхового договора человеком в возрасте Х лет. Здесь  - интенсивность процентов. Чтобы подчеркнуть зависимость связи Z от процентной ставки, введём обозначения Z_:

A_=MZ_=Mb(T_x)V ^{ (T}_x⁾=Mb(T_x)e^{-  (T}_x^{) -}

приведённая стоимость страховой выплаты, если интенсивность процентов =. Предположим, что в нашей страховой модели функция b(Т) принимает значения «1» и «0». Это означает, что величина выплачиваемого пособия не зависит от момента выплаты. В этом случае:

, где j – степень величины будущей страховой выплаты, подсчитанной для интенсивности % , совпадающая со страховой выплатой, рассчитанной для интенсивности % j. Для средних значений получим:

Обычно основная процентная ставка не фиксируется, и в этом случае величины А_=А, Z_=Z. А величина А_j=^jA, в этом случае

DZ=²A-A².

Таким образом стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте Х лет может быть конкретизирована, и её расчёт может быть упрощён. В случае исключительно накопительного страхования

.

И тогда актуарная стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте Х лет задаётся по формуле

.