4.3. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни

Схема краткосрочного страхования была описана выше. Пусть р – страховой взнос, который платит человек страховой компании; b – величина страховой выплаты, которую наследники получают от компании в случае смерти застрахованного в течение 1 года. Страховым взносом клиент обезопасил себя от финансовой неопределенности, связанной с наступлением смерти. Этот риск принимает страховая компания, для которой этот риск заключается в возможности убытка, и этот убыток будет элементарной составляющей финансового риска страховой компании, и поэтому изучение ее деятельности анализируется с точки зрения её убытков. ζ – это индивидуальный убыток случайной величины со значениями i=0 или i=b, распространение которой в простейшем виде задается правилом

П_i=P(ζ=i)=

где х – возраст застрахованного; р_х , q_x – (q_x=1-p_x), это величины, характеризующие: р_х - вероятность того, что человек проживет как минимум ещё 1 год, а q_x – вероятность того, что человек умрет в течение ближайшего года. Средняя величина убытка определяется как mζ=OП₀.

Мζ=О П0+b Пb=b qx – средняя величина убытка;

Dζ=O² П₀+b² П_b-b² q =b²(П_b-q )=b²p_xq_x.

Введём случайную величину L=ζ-p, которая описывает потери страховой компании от конкретного договора страхования. Эта случайная величина принимает два значения: -р и (b-p)>0 с вероятностями р_х и q_x соответственно. Средние потери компании равны:

L=ζ-p=

ML=Mζ-p=bq_x-p

Из свойств задания величины L её ML < 0, т.е. р ≥ рq_x минимальное значение р₀=bq_x , это значение соответствует нулевым потерям компании и называется нетто-премией, реальный страховой взнос будет выше (страховая премия) нетто-премии, так как он должен покрыть административные и хозяйственные расходы. Идея состоит в том, что эта сумма должна гарантировать выполнение обязательств компании и обеспечить малую вероятность разорения компании. Всё это приводит к задаче о компании, т.е. рассматривается не конкретный страховой случай, а общая сумма выплат по всем страховым случаям. Пусть S – это общая сумма выплат всем застрахованным, а U – это весь капитал компании, тогда вероятность не разорения P{S≤U}. Пусть ζ_i – это размер индивидуального убытка от любого i-го застрахованного, тогда S= , где N – величина не случайная, а ζ_i – независимые случайные величины и распределены по одинаковому закону. Это означает, что мы имеем однородную группу застрахованных и исключаем случай массовых катастроф. Суммарный ущерб S является суммой независимых и одинаково распространенных случайных величин, и задача о разорении решается методами теории вероятностей. Одним из простейших решений задач такого рода является метод использования центральной предельной теоремы для нормального распределения.

P{ }≈Ф(х)= ,

Откуда получим, что

P{S≤U}=Ф .

Задаваясь значением вероятности не разорения, мы можем найти значение (того, что в скобках) капитала U. Если в качестве платы p_i за i-й договор страхования выбрать mζ_i , то резервный фонд компании составит:

U= .

И отсюда Р(S>U)=P(S>MS)=Ф(О)=1/2. Такая вероятность разорения неприемлема, поэтому в качестве платы за страховку р_i следует назначить величину p_i=Mζ_i+l_i, где l_i – некоторая добавочная величина, тогда резервный фонд компании будет равен

U=MS+l, l= .

Вероятность разорения P(S>U)

P .

Таким образом если мы хотим, чтобы вероятность не разорения компании была α (обычно за α принимается число, близкое к 1), то l=x(α) , где х(α) – квантиль порядка α, х(α) - коэффициент Стьюдента.

Теперь следует разделить единицу между всеми договорами. Если группа однородная, то l_i=l/N, однако, если рассматривать центральную предельную теорему в более общей формулировке, не требуя, чтобы все ζ_i имели одинаковое распределение, то естественно разделить единицу пропорционально убытку Мζ_i и тогда

l_ζ =kM_ζ

Так как известны и и k=x_α , x_α – коэффициент, характеризующий точность, тогда для страховой премии мы имеем:

P_i=(1+k)Mζ_i=Mζ_i(1+x_α ) (*)

Основной вклад в p_i даёт Мζ_i , она называется нетто-премией, а добавочную сумму l_i=kMζ_i называют страховой надбавкой, Q_i=l_i/Mζ_i – относительной страховой надбавкой, однако назначение индивидуальных премий р по правилу (*) не справедливо по отношению к договорам с малыми флюктуациями возможного ущерба Dζ_i . Эти договоры как бы оплачивают по другим договорам.

Было бы справедливо делить единицу пропорционально дисперсиям Dζ_i или среднеквадратичному отклонению, т.е.

l_i=RDζ_i или l_i=k .

Суммируя по i и учитывая, что l=x_{α ,} получим, что k= или k=x_α - для второго случая. Соответственно, для индивидуальной премии имеем:

P_i=Mζ_i+ Dζ_i

P_i=Mζ_i+ .

Исходя из этого, относительные страховые надбавки вычисляются по формулам:

Q_i=

Q_i=

Пример: страховая компания заключила n=10 000 договоров страхования жизни до 1 года на условиях: в случае смерти застрахованного лица в течение года от несчастного случая, его наследникам выплачивается 1 млн рублей, а в случае естественной смерти - 250 тыс. рублей, а если застрахованное лицо не умирает в течение года, то страховая компания не платит ничего. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста и состояния здоровья. По этим признакам застрахованные разбиваются на две группы: n₁=4 000 человек и n₂=6 000 человек. С вероятностью естественной смерти в течение года q₁=0.004 и q₂=0.002 вычислить р, гарантирующий, что компания выполнит свое обязательство с вероятностью 0.95.

Решение:

Примем за единицу измерения денежных сумм 250 тыс. рублей, тогда для договоров первой группы индивидуальный убыток принимает значения 0, 1, 4 с вероятностями 0,9955; 0,004; 0,0005. Для второй группы убыток принимает те же значения с вероятностью 0,9955; 0,002; 0,0005. Вычислим Dζ_i и Mζ_i

1. Dζ_i=0

Mζ_i=0

Dζ_i=0.012;

2. Mζ_i=0

Dζ_i=0

Рассчитаем суммарный убыток MS:

MS=n₁ =4 000

DS=n₁ =4 000

Для того, чтобы гарантировать вероятность неразорения, равную 0.95, резервный фонд компании должен быть равен MS+l. Найдём l:

l=x_α l=x_0.95

x_0.95=1.645

Найдём относительную страховую надбавку:

Q= , так как Q - одна для всех.

Q= =0.356=35.6%

Для договора первой группы: p₁=M_i(1+Q)=0.0084;

р₂=M₂(1+Q)=0.00542.

В рублях: p₁=2034 рубля;

P₂=1356 рублей.