4.2 Основные вероятностные характеристики продолжительности жизни

Неопределенность момента смерти - основной источник случайности при страховании жизни, поэтому необходима теория, позволяющая адекватно описывать продолжительность жизни для задач страхования. Момент смерти отдельного человека не является основой для создания какой-то теории. Однако статистическое описание жизни большой группы людей может стать предметом исследования теории вероятности как науки о массовых случайных явлениях, обладающих законом устойчивости частей. Обозначим продолжительность жизни как неотрицательную случайную величину Х, тогда

F(x)=P(X≤x) – вероятность, что человек не доживет до Х лет.

Определим дополнительную функцию S(х):

S(x)=1-F(x)=P(X>x);

S(x) – вероятность того, что человек доживет до возраста х лет. S(x) называется функцией выживания. Исходя из свойств функции F(x), функция S(x) обладает следующими свойствами:

S(x) - убывающая функция;

S(0)=1, так как F(0)=0;

;

S(x) – непрерывная функция.

Обязательным условием использования функции в качестве функции выживания являются условия её дифференцируемости. Естественно считать, что жизнь человека ограничена, т. е. бессмертие не существует, однако точно установить продолжительность жизни невозможно, поэтому к актуарной математике используют два подхода:

1) в практических расчетных таблицах продолжительность жизни ограничивают 100-120 лет;

2)для аналитических исследований время жизни считается неограниченным, но F(x) строят таким образом, что вероятность жизни сверх некоторого предела пренебрежимо мала.

Исходя из этого S(x) имеет простой статистический смысл. Пусть мы наблюдаем за группой l₀ одновременно родившихся людей и фиксируем моменты их смерти x₁, x₂, …x_l0. Обозначим число живых в возрасте через L(x), тогда

L(x)= - число живых в возрасте х;

I(A) - индикатор события А;

I¹(A)=1, если событие А произошло;

I(A)=0, в противном случае.

Для l_x =ML(x) имеем

L_x=ML(x)= l₀S(x) (*)

Следовательно, S(x) описывает среднюю долю живых представителей группы в возрасте х лет. В актуарной математике часто используют l_x вместо S(x) (число l₀ фиксируется).

Введем новую случайную величину D_x,t как число умерших в возрасте от х до (x+t) лет из фиксированной группы, включавшей l₀ новорожденных. Имеем:

D_x,t=L(x)-L(x+t)= (x<x_i≤x+t) – число умерших в [х, x+t].

Определим d_x,t как

d_x,t=I_x-I_x+t=l₀(S(x)-S(x+t)),

где S(x)-S(x+t) есть не что иное, как P{x<x_i≤x+t}, т.е. вероятность смерти в промежутке (x, x+t). Случай t=1 представляет собой интерес. По формуле Лагранжа запишем:

S(x)-S(x+1)=-S¹(c), c (х, х+1). (4.2.1)

Как показывает опыт, S¹(х) мало изменяется в течение года. Поэтому d_x,1 -l₀S¹(x). Заметим, что f(x)=-S¹(x)=F¹(x) 0 – плотность случайной величины х, таким образом. f(x) приближенно описывает долю умерших в интервале (х, х+1) из исходной группы, включавшей l₀ новорожденных.

Из формулы (1) получаем:

(4.2.2), (4.2.3)

Обратно, если мы имеем f(x)≥0, которое удовлетворяет условию (4.2.2), то по формуле (4.2.3) можем восстановить функцию выживания, а следовательно, и функцию распределения F(x).

В актуарной математике график функции f(x) называют кривой смертей.

Величина называется интенсивностью смерти. При малых t произведение М_хt примерно выражает вероятность смерти в интервале (х, x+t) человека, достигшего до х лет. Действительно,

.

Если t мала, то, применяя формулу Тейлора можно записать приближенное равенство

.

Теоретической вероятностной характеристикой средней продолжительности жизни является математическое ожидание случайной величины Х.

е⁰=МХ= .

В теории страхования, как было замечено, чаще используется функция выживания. Выразим через нее МХ, так как

.

Функция ys(y)→0 при y→ . Теперь с помощью интегрирования по частям мы получим

е⁰=- .

Дисперсия продолжительности жизни DX описывает размеры случайных отношений этой величины от среднего значения:

DX=

Так же, как и математическое ожидание, дисперсия может быть выражена через функцию выживания:

DX=2 .

Медиана продолжительности жизни m(0) определяется как корень уравнения

S(m)=0.5 (4.2.4)

Так как предполагается, что функция выживания непрерывна и строго монотонна, то корень уравнения (4.2.4) существует. Из определения следует, что медиана продолжительности жизни – это такой возраст, что вероятности дожить до него и не дожить, равны, т.е.

P{x<m(0)}=P{x≥m(0)}=0.5.

Используя формулу (*), медиану продолжительности жизни можно определить равенством l_m(0)=0.5l₀ , из которого ясен статистический смысл данной величины, это возраст, до которого доживает ровно половина представителей фиксированной группы новорожденных.

В ряде случаев для упрощения расчетов теоретического анализа и т.п. функция выживания и интенсивность смертности описываются с помощью простых эмпирических формул. Вейбулл в 1939 году предложил приближенно описывать интенсивность смерти μ_х степенной функцией вида κхⁿ. Функция выживания в этом случае дается формулой

S(x)= e^-k ,

а кривая смертей f(x) имеет вид

f(x)=kxⁿe^-k

Страховые компании в практической деятельности используют таблицы продолжительности жизни. Для различных групп населения существует большой реестр таблиц, называемых таблицами с оборотом или таблицами оборота риска.

Комитент обращается в компанию, прожив определенное, скажем х количество лет. Для человека в возрасте х лет обычно рассматривают не продолжительность жизни, а остаточное время жизни Т(х). Распределение случайной величины Т(х) – это условное распределение величины (Х-х), если Х>x, таким образом.

F_x(t)=P{X<x≤t│X>x}=P{X≤x+t│X>x}=

(4.2.5)

Соответствующая функция выживания вычисляется по формуле:

S_x(t)=1-F_x(t)= ,

а плотность f_x(t) случайная величина Т(х) – по формуле

f_x(t)= , 0 ≤ t ≤ .

Интенсивность смертности, связанная с величиной Т(х), может быть представлена в виде:

.

Отсюда следует, что интенсивность смертности в возрасте (x+t) лет не зависит от уже прожитых лет.

Вероятность P{T(x)≤t} в актуарной математике обозначается символом _tq_x:

_tq_x= P{T(x)≤t} (4.2.6).

Формула (4.2.5) с учетом обозначения (4.2.6) может быть записана в виде

_tq_x= (4.2.7)

Дополнительная вероятность P{T(x)≤t} в актуарной математике обозначается символом _tp_x. Следовательно,

_tq_x=P{T(x)>t}= .

При t=1 символ t в обозначениях _tq_x и _tp_x опускается, и мы имеем:

q_x= P{T(x)≤1}= ;

p_x P{T(x)>1}= . (4.2.8)

Величину _tp_x можно выразить через p_x , p_x+1, … следующим образом:

_tp_x= … p_xp_x+1…p_x+t-1.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что человек в возрасте х лет проживёт ещё t лет и умрёт на протяжении последующих u лет, т.е. t<T(x)≤t+u. Его вероятность обозначается _t/uq_x:

_t/uq_x=P{t<T(x)≤t+u }

Очевидно,

_t/uq_x= _tp_x-t+ _up_x

_t/uq_x=_t+1q_x- _tq_x

Из выражения (4.2.7) и (4.2.8) получаем:

_t/uq_x= .

При u=1 соответствующий индекс опускается, и мы имеем

_t/uq_x=_t+1q_x- _tq_x= _tp_x-t+ _up_x= ,

т.е. _t/uq_x – это вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет еще t лет и умрёт в течение следующего года.

Среднее значение остаточной продолжительности жизни человека, т.е. МТ(х), обозначается . Поскольку Т(х) – это неотрицательная случайная величина, её математическое ожидание может быть выражено через дополнительную функцию распределения P{T(x)>t}= _tp_x функции случайной величины Т(х) как . Из формулы (4.2.5) получим

.

Аналогично для второго момента Т(х) имеет:

М(Т(х))²=2 .