Параметры моделей очередей

При анализе систем массового обслуживания наиболее час­то используются следующие технические и экономические ха­рактеристики:

1. среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2. средняя длина очереди;

3. среднее время, которое клиент проводит в системе обслу­живания (время ожидания плюс время обслуживания)

4. среднее число клиентов в системе обслуживания;

5. вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;

6. вероятность определенного числа клиентов в системе. Среди экономических характеристик наибольший интерес

представляют:

1. издержки ожидания в очереди;

2. издержки ожидания в системе;

3. издержки обслуживания.

В зависимости от сочетания приведенных выше характери­стик, могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания. Здесь мы познакомимся с несколькими наибо­лее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики: • пуассоновское распределение вероятностей поступления за­явок;

• стандартное поведение заявок;

• правило обслуживания FIFO;

• единственная фаза обслуживания.

Модели систем массового обслуживания

Модель А.

Модель одноканальной системы массового обслуживания с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют един­ственную очередь, которая обслуживается одним сотрудником.

Предположим, что для систем этого типа выполняются сле­дующие условия:

1. заявки обрабатываются по принципу «первым пришел — первым обслужен», причем каждый клиент ожидает своей очереди до тех пор пока не будет обслужен, независимо от длины очереди;

2. появление заявки является независимым событием, однако, среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно;

3. процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограни­ченного множества;

4. время обслуживания описывается экспоненциальным рас­пределением вероятностей;

5. темп обслуживания выше темпа поступления заявок. Если эти условия выполняются, то модель А описывается

следующими уравнениями: М/М/1 — простая система;

λ — число заявок в единицу времени;

m — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время об­служивания);

− среднее число клиентов в очереди;

ЛИТЕРАТУРА

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М., Высшая школа, 1986.

2. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций. М., Инфра-М, 2006.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М., Советское радио, 1972.

4. Кристофидес

5. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М., Высшая школа/ 1980.

6. Нит И.В. Линейное программирование. М., Изд. МГУ, 1978.

59