МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет "львівська політехніка"

ІНСТИТУТ ПІДПРИЄМНИЦТВА ТА ПЕРСПЕКТИВНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

КРИПТОГРАФІЧНІ ПРОТОКОЛИ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання лабораторних робіт з курсу "Математичні основи захисту інформації"

для студентів базового напряму 6.050101 "Комп’ютерні науки "

Затверджено на засіданні кафедри "Інформаційних систем і технологій " Протокол № _ від __________

Львів 2013

Криптографічні протоколи: Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу «Математичні основи захисту інформації» для студентів базового напрямку підготовки 6.050101 «Комп’ютерні науки»-Львів. Національний університет "Львівська політехніка". 2013. - 15 с.

Укладач: Волошин В.В., канд. фіз.-мат. наук, доцент.

Відповідальний

за випуск: __________________________________________.

Рецензенти: _______________________________________

__________________________________________________________.

Лабораторна робота №1

Тема: Експоненційний обмін ключем

Мета роботи: Отримати навички використання протоколу експоненційного обміну ключем.

Теоретичні відомості

Учасниками цього протоколу є дві особи А та В, які, спілкуючись через канал, що ймовірно прослуховується, хочуть домовитись про спільний таємний ключ.

- Особа А вибирає велике просте число р та первісний корінь g за модулем р, і не роблячи з цього жодної таємниці, посилає р i g особі В.

- А вибирає випадкове число а в межах від 1 до р - 1, а В - випадкове число b в тих же межах.

- А обчислює a mod p і посилає це значення В, а В обчислює g mod p і теж посилає А.

- А і В обчислюють одне і те ж число

, яке і приймають в якості ключа.

Завдання.

1. Програмно реалізувати протокол обміну ключем абонентів А та В.

2. Реалізувати обмін при р = 23, g = 5, а = 15, b = 18.

Лабораторна робота №2

Тема: Цифровий підпис у системі RSA

Мета роботи: Отримати навички використання протоколу цифрового підпису, використовуючи систему RSA.

Теоретичні відомості.

В системі RSA кожен абонент X має пару ключів — загальновідомий відкритий і таємний , який знає лише X і ніхто інший. Таким чином, будь-хто може скористатися Алгоритмом шифрування абонента Х, але тільки він сам володіє алгоритмом дешифрування . Важливим є виконання таких співвідношень для довільного повідомлення М.

.

Ці співвідношення виражають той факт, що шифруюче відображення дешифруюче є взаємно оберненими.

Припустимо тепер, що Аліса хоче послати Бобові повідомлення М таким чином, шоб той був певен, що повідомлення справді послане Алісою, а не її суперницею Агнесою. Для цього пропонується такий протокол, в якому та — алгоритми шифрування та дешифрування Аліси та Боба.

Відкритий ключ; е,п.

Таємний ключ: d

Алгоритм шифрування Е у системі RSA полягає у піднесенні М до степеня , де М – блок відкритого тексту, який розглядається як елемент кільця Z_n і може підноситись до степеня за модулем п .

Записуємо це так:

.

В результаті отримується блок криптотексту С = Е(М), який також є цифровим записом якогось елемента кільця .

Дешифрування. Алгоритм дешифрування D блоку криптотексту С полягає у піднесенні С до степеня d, тобто

.

• Аліса обчислює і посилає С Бобові.

• Боб, отримавши С, обчислює .

Загальна схема криптографічних протоколів. Описана криптосистема забезпечує як достовірність повідомлення, так і його конфіденційність. Є системи власне цифрового підпису, метою яких є забезпечення лише достовірності. Такі системи вкладаються у схему, що включає в себе такі складові:

• Ймовірнісний алгоритм генерування ключів. Кожен абонент А отримує пару , де К_А — відкритий, а К'_А — таємний ключі.

• Алгоритм підписування SIGN, який отримавши на вхід довільне повідомлення М та таємний ключ , продукує слово в деякому алфавіті, яке називається підписом абонента А на повідомленні М. Коли А хоче послати комусь повідомлення М із запевненням, що воно відправлене саме ним, то посилає пару (М ,S).

• Алгоритм підтвердження підпису CHECK, який є до послуг будь-кого, хто забажає перевірити, що підпис S повідомлення М належить саме власникові відкритого ключа К_А. Перевірка вважається успішною, якщо CHECK(K_A,M,S)=1. Для будь-якого повідомлення М і для кожної пари ключів (К, К') має виконуватись співвідношення CHECK(K,M,SIGN(M,K'))= I.

Завдання.

1 Програмно реалізувати цифровий підпис у системі RSA.

2. Підписати повідомлення : Love is the bird, she needs to fly, let all the hurt inside of you die, якщо n=3551; e=1021; d=1237. Перевірити отриманий ПІДПИС.

Лабораторна робота №3

Тема: Система цифрового підпису Ель Гамала

Мета: Отримати навички використання протоколу цифрового підпису на основі системи Ель Гамала

Теоретичні відомості

Генерування ключів.

Вибирають велике просте р, а також число g, 1 < g < p-1, яке має в мультиплікативній групі великий порядок. В ідеальному випадку g є первісним коренем за модулем р. Числа р і g не є таємницею і перебувають в загальному користуванні. Кожен абонент вибирає собі випадкове число а в проміжку від 1 до р-1, і обчислює .

Відкритий ключ: р, q, h.

Таємний ключ: а.

Підписування. Аліса підписує повідомлення М у послідовності:

• вибирає випадкове число ;

• обчислює ;

• обчислює ;

• обчислює ;

• покладає у якості підпису .

Підтвердження підпису. Боб перевіряє, чи .

Завдання:

1.Програмно реалізувати систему цифрового підпису Ель Гамала.

2. Реалізувати процедуру цифрового підпису на повідомленні "If I could turn back the hands of time "при таких ключах ; p=43;g=41;h=11.

Лабораторна робота №4

Тема: Система Шнорра цифрового підпису

Мета роботи: Отримати навички використання протоколу цифрового підпису на основі системи Шнорра

Теоретичні відомості.

Вибирають велике просте число р таке, що р - 1 має досить великий простий дільник q. Вибирають також число h, яке не дорівнює 1, але . Параметри p,q,h не становлять таємниці і є спільними для всіх абонентів мережі. Особа А вибирає випадкове число а в діапазоні від 1 до q - 1 і обчислює число . ЇЇ ключі формуються так.

Відкритий ключ: таке, що /

Таємний ключ: а.

Підписування. Алгоритм підписування використовує деяку вкорочуючу функцію f. Щоб виробити свій підпис S для повідомлення М, особа А:

• вибирає випадкове число r в діапазоні від 0 до q - 1;

• обчислює X = h^r mod p;

• обчислює , де MX позначає результат злиття М і X в один текст;

• обчислює ;

• утворює .

Підтвердження підпису. Отримавши повідомлення М із підписом , особа В:

• обчислює ;

• перевіряє, чи .

Завдання.

1. Програмно реалізувати систему Шнорра цифрового підпису.

2. Реалізувати процедуру цифрового підпису на повідомленні М = <Тема>, при р = 997, h = 565, а = 111. Вкорочуючою є функція, яка сумує коди всіх символів повідомлення і з утвореного числа бере перші дві цифри.