Умножение

Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем со­бытия:

A — «выбранные числа кратны 2»,

В — «выбранные числа кратны 3»,

С — «выбранные числа кратны 6».

Событие С происходит, если одновременно происходят события A и В. Если одно из событий A или В не произойдет, то не про­изойдет и С. Принято такое событие С называть произведением событий A и В.

В общем случае произведение событий определяется так:

Произведением событий A₁, A₂, A₃,…, А_п называется событие А, состоящее в одновременном исполнении всех (и А₁, и A₂, и A₃, . . ., и А_n) событий A₁, A₂, A₃,…, А_п.

Символически:

A = A₁ A₂ A₃ … А_п. (2.3)

Рассмотрим еще пример:

A — «входящий в подъезд человек — мужчина»,

В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,

С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».

Событие С происходит только при одновременном исполнении событий A и В, поэтому С = АВ.

Пусть события A и В представлены подмножествами одного и того же множества элементарных событий E так: A (е₁, е₂, е₃), В(е₂, e₃, e₄).

Тогда произведение АВ будет представлено пересечением этих подмножеств .

Рис. 3

Рис. 4

Вообще, если событие А представлено подмножеством А* мно­жества элементарных событий Е, а событие В — подмножеством В* того же самого множества элементарных событий, то произве­дение А В будет представлено пересечением .

Изображая события А и В разными полукругами, получим сле­дующую геометрическую интерпретацию события С = АВ (рис. 3).

Сравнивая события

А — «появление герба при первом бросании монеты»,

В — «появление цифры при первом бросании монеты», выяс­няем, что совместное осуществление этих событий невозможно.

Символически это записываем так:

АВ = V. (2.4)

Геометрическая интерпретация приведена на рисунке 4.

Два события А и В, произведение которых — невозможное собы­тие (АВ = V), называются несовместимыми событиями.

Произведение несовместимых событий представляется пустым множеством. Для таких событий А и В определение суммы событий формулируется так:

Суммой двух несовместимых событий А и В называется событие С, осуществляющееся в появлении либо события А, либо события В.

Разберемся в таких событиях:

А₁ — «появление одного очка при бросании игральной кости»,

A₂ — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

A₃ — «появление трех очков, при бросании игральной кости»,

А — «появление не больше трех очков при бросании играль­ной кости».

Имеют место следующие зависимости:

1) А = А₁ + А₂ + А₃; 2) А₁А₂ = V; А₁А₃ = V; А₂А₃ = V.

Если события A₁, A₂, A₃ и А удовлетворяют условиям (1) и (2), то событие А составлено из событий A₁, A₂, А₃.

Рассмотрим следующие пары событий:

Естественно, события в каждой из пар считать противополож­ными. Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из этих пар событий:

1. Сумма событий каждой пары — достоверное событие:

A₁ + A₂=U,

B₁ + B₂=U,

С₁ + С₂= U.

2. Произведение событий каждой пары — невозможное собы­тие:

A₁ A₂=V,

В₁ В₂ = V,

С₁ С₂ = V.

Теперь можно ввести определение:

Если сумма событий А и В — достоверное событие, а произве­дение — невозможное событие, события А и В называются противо­положными.

Если А и В — противоположные события, то символически за­писываем это так:

, или

Тогда , а .

Задачи

15. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие АВ?

Решение.

Событие АВ, по определению, состоит в попадании первыми 2 выстрелами по мишени.

Ответ: попадание первыми 2 выстрелами.

15. Событие А₁ – «появление четного числа очков при бросании игральной кости»,

событие А₂ – «появление 2 очков при бросании игральной кости»,

событие А₃ – «появление 4 очков при бросании игральной кости»,

событие А₄ – «появление 6 очков при бросании игральной кости».

Докажите:

1) ;

2) А₂А₃ = V;

3) .

Решение.

1) – «появление не 6 очков при бросании игральной кости», т.е. появление 1, 2, 3, 4 и 5 очков, следовательно, – «появление четного числа очков, но не 6», а значит – 2 или 4 очков. (по определению) – «появление 2 или 4 очков», что и требовалось доказать.

2) При бросании кости, она падает на одну грань, а значит не может одновременно выпасть 2 и 4 очка, следовательно, А₂А₃ – невозможное событие.

3) – «появление не 2 очков», – «появление не 4 очков», а (по определению)– «появление четного числа очков, но не 2 и 4, т.е. 6 очков», но это есть событие .