§ 2. Множество элементарных событий

Допустим, что при бросании игральной кости нас интересует появление определенного числа очков.

Выпадение конкретного числа очков i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) мы назовем элементарным событием и обозначим e_i.

Осуществление одного элементарного события в качестве ре­зультата испытания, очевидно, исключает реализацию других.

Ясно, что при бросании игральной кости непременно произой­дет одно из элементарных событий:

e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ .

Будем считать, что все эти элементарные события образуют множество элементарных событий Е; Е — достоверное событие (по определению).

Рассмотрим события:

1) А — «появление четного числа очков при бросании играль­ной кости». Этому событию благоприятствуют элемен­тарные события е₂, e₄, e₆. Разумеется, множество этих событий является подмножеством E,

2) В — «появление числа очков не больше четырех». Этому событию благоприятствует подмножество множества элементарных событий Е:

e₁, e₂, e₃, e₄,

Таким образом, событие А может быть представлено подмножес­твом элементарных событий (е₂, e₄, e₆), событие В—подмноже­ством элементарных событий (e₁, e₂, e₃, e₄).

Представляя события как подмножества множества элементар­ных событий, обозначим А (е₂, e₄, e₆ ), В (e₁, e₂, e₃, e₄).

Бросаем монету. Событие Г — «появление герба» и событие Ц — «появление цифры» тоже образуют множество элементарных событий.

Если события A, В можно сравнить в смысле возможности их появления, то сравнение, например, событий А и Г смысла не имеет, потому что они представляются подмножествами разных множеств элементарных событий.

§ 3. Операции над событиями Сложение

По мишени произведено 4 выстрела. Рассмотрим события:

A₀ — «попаданий нет»;

А₁ — «одно попадание»;

A₂ — «два попадания»;

A₃ — «три попадания»;

A — «не больше трех попаданий».

Разумеется,

Вместе с тем событие A не содержит никаких других событий, кроме A_о, A₁, A₂, A₃. Поэтому естественно событие A считать сум­мой событий A_о, A₁, A₂, A₃.

Суммой событий A₁, A₂, A₃,…, А_п называется событие A, со­стоящее в появлении хотя бы одного из событий A₁, A₂, A₃,…, А_п (или А₁ или A₂, ..., или А_п, или нескольких из них, или всех).

Символически:

А = А₁ + A₂ + A₃ + ... + А_n. (2.1)

Рассмотрим три события:

A — «появление одного очка при бросании игральной кости»,

В — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

С — «появление не больше двух очков при бросании игральной

кости».

Нетрудно заметить, что событие С является следствием A или В, поэтому

С = A + В.

Ясно, что события A и В не могут произойти одновременно. Поэтому, представляя их разными секторами круга, получаем следующее графическое изображение события С = A + В (рис. 1). Приведем теперь графическое представление суммы событий: A — «появление больше чем 4 очка при бросании игральной кости»,

В — «появление больше чем 3 очка и меньше чем 6 очков при бросании игральной кости»,

С — «появление больше чем 3 очка при бросании игральной кости».

Ясно, что С = А + В. Так как событию А соответствует «появ­ление или 5, или 6 очков», а событию В — «появление или 4, или 5 очков», то, изображая эти события разными полукругами, получа­ем иное представление события

Рис. 1.

Рис. 2.

С = А + В (рис. 2). То, что в рисун­ке суммы А + В одна четверть круга принадлежит и событию А и событию 5, не является случайностью: частью обоих этих событий является событие «появление 5 очков».

События А и В могут быть подмножествами одного и того же множества элементарных событий Е следующим образом: А (е₅, е₆), В (e₄, e₅)- Тогда сумма этих событий А + В представляется объединением этих подмножеств (е₄, е₅, е₆). Вообще, если событие А представлено подмножеством A* множества элементарных собы­тий E, а событие В — подмножеством B* того же множества элемен­тарных событий, то сумма А + В будет представлена объединением A* В*.

Графическое представление суммы событий позволяет устано­вить следующие закономерности²:

1) А + В = В + А

2) (А + В) + С = А + (В + С). (2.2)

Задачи

Задача 12. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие А + В?

Решение.

Событие А+В состоит в попадании 2 выстрелов в мишень.

Ответ: попадание 2 выстрелами.

Задача 13. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

а) Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (собы­тие В).

б) «Родила царица в ночь, не то сына (событие А), не то дочь (событие В)...».

в) Случайно выбранная цифра меньше 5 (событие А), больше 6 (событие В).

г) Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз (событие А), не более 6 раз (событие В).

Решение.

а) Учитель вызвал к доске ученика или ученицу ( )

б) Царица родила сына или дочь ( ).

в) Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 ( , то есть это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9).

г) Из десяти выстрелов в цель попали не более 7 раз ( , то есть число попаданий 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 раз).

Ответ: 4 сложных события, являющихся суммой двух несо­вместных событий.

Задача 14. Событие А – «лотерейный выигрыш 1 руб.»,

событие В – «лотерейный выигрыш 2 руб.»,

событие С – «лотерейный выигрыш 3 руб.»,

событие D – «лотерейный выигрыш 4 руб.».

В чем состоит событие A + B + C + D?

Решение.

По определению событие A + B + C + D – «по лотерее выиграно не больше 4 руб.».

Ответ: по лотерее выиграно не больше 4 руб.