Избранные задачи теории вероятностей

Глава 1. Случайные события и операции над ними

§ 1. Случайное событие

Часто приходится размышлять над такими терминами, как «вероятность», «случай», «событие». Для наглядности и доходчивости они иногда заменяются разными синонимами, но суть их не меняется. Оттенок они получили вполне определенный. Теперь договоримся, что как назвать.

Подбрасываем монету. Появился герб. А ведь могла появиться и цифра. То, что появился герб, – случайное событие.

Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. Конечно, это дело случая: он мог встретить только одного знакомого, четырех или вообще не встретить знакомых.

То, что он встретил именно трех, — случайное событие.

В этих примерах случайные события — последствия определен­ных действий или результаты наблюдений при реализации комплекса условий (подбрасывание монеты, выстрел, прогулка).

На основании только что разобранных примеров можно составить следующую характеристику случайного события.

Случайным событием называется такой исход эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Кратко «случайные события» называют «событиями». Выделим два частных вида событий.

Проведем вначале (мысленно, разумеется) следующий экспери­мент: стакан с водой перевернем дном вверх. Если этот опыт прово­дить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. Это досто­верное событие.

Достоверным событием называется такое событие, которое при реализации данного комплекса условий непременно произойдет.

Произведено три выстрела по мишени. «Произошло пять попаданий» — невозможное событие.

Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе — не­возможное событие.

Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится сло­во «анахронизм» — невозможное событие.

Невозможным событием называется такое событие, которое за­ведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий.

Случайные события принято обозначать большими буквами ла­тинского алфавита A, В, С с индексами или без них¹. Достоверное событие будем обозначать U, невозможное — V.

Задачи

Задача 1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.

Решение.

1) Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся ро­дились 30 января – случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все зависит от состава группы из 25 учащихся).

2) Второе событие – невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

Задача 2. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Случайным образом открывается учебник литературы и нахо­дится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы «К»; 2) с буквы «Ь».

Решение.

1) Первое событие – случайное, так как оно может как произой­ти, так и не произойти в описанных условиях.

2) Второе событие – невозможное, так как в русском языке нет слов, начинающихся с буквы «ь».

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

Задача 3. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из списка журнала VIII класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

Решение.

1) Первое событие – случайное, так как оно может, как произойти, так и не произойти (если выбрана девочка) в описанных условиях.

2) Второе событие – тоже случайное, так как в классе могут не только дети – одногодки, но и дети, родившиеся на год раньше или на год позже нормы (7 лет при поступлении в школу плюс 7 лет учебы).

3) Третье событие невозможное, так как 14-месячьный ребенок физически не может учиться в VIII классе.

4) Четвертое событие – достоверное, так как каждый ученик класса, безусловно, старше двух лет.

Ответ: 1) случайное; 2) случайное; 3) невозможное; 4) достоверное.

Задача 4. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипела при t = 80°С; 2) когда температура упала до –5° С, вода в луже замерзла.

Решение.

1) В описанных условиях (вода чистая, атмосферное давление нормальное) это событие невозможное, так как температура кипения воды при нормальном давлении равна 100° С. При 80° С вода могла бы закипеть на вершине горы высотой 7000 метров (в районе Сочи таких гор нет). При нормальном давлении и температуре 80° С может закипеть бензин.

2) В описанных условиях это событие невозможное, так как температура плавления воды при нормальном давлении равна 0° С, то есть вода замерзает при 0° С. Снижение этой температуры для воды имеет место при повышении давления.

Ответ: 1) невозможное; 2) невозможное.

Задача 5. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Решение.

Описанное событие – достоверное, так как необходимым условием образования треугольника является то, что длина каждой его стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. Поскольку треугольник существовал, то обязательно выполнялось это условие.

Ответ: достоверное.

Задача 6. Для каждого из описанных событий определите каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков ровна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15.

Решение.

1) Это событие случайное, так как может произойти или не произойти в описанных условиях.

2) Это событие невозможное, так как на каждом кубике может выпасть не менее 1 очка, следовательно, сумма выпавших очков не может быть меньше 2.

3) Это событие невозможное, так как на каждом кубике может выпасть не более 6 очков, следовательно, сумма выпавших очков не может быть больше 12.

4) Событие случайное (может произойти, может не произойти).

5) Событие достоверное, так как сумма выпавших очков при всех возможных исходах не может быть больше 12, то есть она все­гда меньше 15.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное; 3) невозможное; 4) случайное; 5) достоверное.

Задача 7. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно»:

а) день рождение моего друга – число, меньше чем 32;

б) на уроке математики ученики делали физические упражнения;

в) на уроке математики ученики решали математические задачи;

г) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2007 году;

д) сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2007 году;

е) из интервала (1;2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;

ж) из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось смешанным;

з) вверх подкинули монету и она упала на землю «орлом»;

и) вверх подкинули монету и она упала на землю, встав на ребро.

Решение.

а) Достоверное событие, стопроцентная вероятность (в каждом месяце меньше 32 дней).

б) Случайное событие, маловероятно, если в школе нет обязательных физкультурных пауз на уроках.

в) Достоверное событие, стопроцентная вероятность, если это действительно был урок математики, а не какое-либо мероприятие в это время.

г) Случайное событие, маловероятно.

д) Случайное событие, достаточно вероятно.

e) Невозможное событие, нулевая вероятность: в интервале (1; 2) нет натуральных чисел.

ж) Случайное событие, достаточно вероятно (кроме смешанных, рациональных чисел, отрезок содержит также иррациональные числа, например и т. п.).

з) Случайное событие, достаточно вероятно.

и) Случайное событие, маловероятно. Отметим, что, рассматривая эксперимент с бросанием монеты, полагают, что он имеет только два возможных исхода: орел или решка. Физически возможна и остановка монеты на ребре, но в таких (очень редких) случаях обычно считают, что эксперимент не состоялся.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) достоверное; г) слу­чайное; д) случайное; е) невозможное; ж) случайное; з) случайное; и) случайное;

Задача 8. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:

а) в написании выбранного слова есть гласная буква;

б) в написании выбранного слова есть буква «о»;

в) в написании выбранного слова нет гласных букв;

г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Решение.

а) Событие достоверное, так как в русском языке нет существи­тельных, состоящих только из согласных букв.

б) Событие случайное.

в) Событие невозможное (см. пункт а).

г) Событие случайное.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) невозможное; г) слу­чайное.

Задача 9. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго – число с. Оказалось, что:

а) число а меньше числа с;

б) число а больше числа с;

в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10);

г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).

Решение.

а) Событие достоверное, так как любое число из интервала (0; 1) меньше любого числа из интервала (5; 10).

б) Событие невозможно (см. пункт а).

в) Событие случайное. Оно происходит, когда 5 < а + с < 10, и происходит, если это неравенство не выполняется. Легко видеть, что все возможные значения суммы а + с принадлежат интервалу (5; 10).

г) Событие случайное. Оно происходит, когда 10 < а + с < 11 (см. пункт в).

Ответ: а) достоверное; б) невозможное; в) случайное; г) случайное.

Задача 10. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

Решение.

а) Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара; четыре синих вынуть нельзя.

б) Событие случайное, может произойти, может и не произойти.

в) Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов.

г) Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.

Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.

Задача 11. В двух урнах находятся по пять шаров пяти разных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из урны одновременно вынимают по одному шару. Охарактеризуйте указанное ниже событие как достоверное, случайное или невозможное:

а) вынуты шары разного цвета;

б) вынуты шары одного цвета;

в) вынуты черный и белый шары;

г) вынуты два шара, причем каждый оказался окрашенным в один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый.

Решение.

а) Событие случайное.

б) Событие случайное.

в) Событие невозможное, так как ни в одной из двух урн нет шаров черного цвета.

г) Событие достоверное, так как в каждой урне есть шары указанных цветов, и ни в одной из двух урн нет шаров других цветов.

Ответ: а) случайное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.