1. проверить справедливость неравенства npq>10;

2. Вычислить X;

3. По таблице в приложении 1 найти значение φ(X);

4. Вычислить по формуле (2.28). Задачи

80. Решить задачу, условие которой дано в начале этого пункта.

Решение.

5. npq=100 000·0,06·0,94=5 640>10;

6. x = ;

7. Находим φ(2,7) = 0,0104.

8. По формуле (2.28)

.

.

Ответ: .

80. Вероятность встретить на улице своего учителя 0,002. Ка­кова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы встретите не более 3 своих учителей?

Решение.

Пусть А_о— событие, состоящее в том, что вы своих учителей не встретите, А_i — событие, состоящее в том, что вы встретите ровно i своих учителей. Тогда событие A, состоящее в том, что вы встре­тите не больше 3 учителей, равно сумме вышеупомянутых событий, т. е.

А = А_о + A₁ +A₂ + A₃.

Но события A₀, А₁, A₂, A₃ несовместимы, поэтому

Р(А) = Р (A₀) + Р(A₁) + Р (A₂) + Р(A₃).

По формуле (2.28)

;

.

Тогда Р(А) = 0,0775 + 0,1719 + 0,2505 + 0,2389 = 0,7388.

Таким образом, гарантия того, что вы встретите не более 3 своих учителей, составляет приблизительно 74%.

Ответ: 0, 7388.

80. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет ровно:

а) 110 мальчиков; б) 80 мальчиков.

Решение.

В нашем случае п = 200, р = q = 0,5.

1) npq=50>10 и .

В случае а) m=110;

2) ;

3) φ(1,41) = 0,1476;

4) .

В случае б) m=80;

2) ;

3) φ(–2,83) = 0,0073;

4) .

Ответ: а) 0,02; б) 0,001.

80. Придумайте текстовые задачи на использование формулы Муавра-Лапласа, в которых:

а) п =100; m = 52; p = 0,5;

б) n = 900; m = 447; р = 0,5;

в) n = 192; m = 44; p = 0,25;

г) n = 294; m = 40; p= .

Решение.

Возможны такие тексты:

а) Какова вероятность того, что при 100 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 52 раза?

б) В городе одинаковое количество мужчин и женщин. Какова вероятность того, что из 900 прохожих ровно 447 будут женщины?

в) Вероятность приживления саженца ели в условиях нашего города равна 0,75. Какова вероятность того, что из 192 высаженных саженцев погибнут ровно 44 саженца?

г) В родильном доме ежедневно рождается одинаковое количе­ство младенцев. Какова вероятность того, что среди 294 родивших­ся ровно 40 младенцев родились по средам?

Ответ: 4 варианта текстов.

80. При поведении некоторого испытания вероятность появления события А равна 0,5. Сколько раз предполагается ожидать появление А с вероятностью 0,048 при 100 испытаниях?

Решение.

p = q = 0,5; n = 100; P(S₁₀₀=m) 0,048. Необходимо найти m.

npq = 100 0,5·0,5 = 25>10; ;

, а значит , x = 1.

Из формулы m = 55.

Ответ: 55.

§ 3. Формула Пуассона

Когда р близко к 0 или 1, формула Муавра дает результаты, которые значительно отклоняются от результатов, полученных по формуле (6.1). Рассмотрим случай, когда при возрастании п вероятность р появления интересующего нас события убывает, а пр = k — постоянное число.

Именно такая ситуация возникает, когда имеем дело с редко происходящими событиями.

В данном случае будем пользоваться формулой Пуассона:

. (2.29)

Задачи

80. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных человек двое родились 1-го мая?

Решение.

Естественно считать, что день рождения незнакомого чело­века может быть с равной вероятностью любым днем года. Нам предстоит вычислить

Р (S₅₀₀ = 2). Так как п = 500, т = 2, р = , то . По формуле (2.29)

.

При вычислении этого и подобных выражений полезно поль­зоваться таблицей 1. Полезно также запомнить, что

.

Ответ: .

80. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероят­ность того, что среди сотни наугад выбранных человек не ока­жется ни одного левши?

Решение.

В этом случае п = 100, т = 0, р = 0,008. Отсюда k = 0,8.

.

Ответ: .

80. Частные конторы страхования заинтересованы в получении прибыли за счет клиентов. В одной такой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что кантора разориться?

Решение.

Пусть событие А – разорение компании.

По условию задачи n = 10 000; p = 0,006; k =60. Годовая выручка – 120 000 долларов. Компания не получит прибыли, если умрут минимум 120 человек и максимум 10 000. Т.к. эти события несовместные, то

Ответ: .