§ 2. Формула Муавра – Лапласа

Познакомимся с наиболее важным открытием замечательного французского математика А. Муавра в теории вероятностей. Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, отличаются иммунитетом против этого заболевания. Какова вероятность того, что среди 100 000 граждан, получивших прививки, 5800 не защищены от заболевания туберкулезом?

В нашем случае п = 100 000, т = 5800, р = 0,06, q = 0,94.

Аналогичную задачу для р = рассматривал Муавр, а для лю­бого

0 < р < 1 — Лаплас

С помощью формулы (2.26) Лаплас доказал, что для достаточно большого п при и

Обозначим

и

Тогда

. (2.28)

Для вычисления вероятности наступления ровно k успехов в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, следует: