Глава 5. Независимые повторные испытания

§ 1. Формула Бернулли

Несколько раз бросаем монету. Появление герба, скажем, при четвертом бросании, не зависит от того, каковы были результаты при первом, при втором и при третьем бросаниях. Мы имеем дело с независимыми испытаниями. Решим теперь такую задачу.

79. При проведении некоторого однократного испытания вероятность появления события А равна р, а не появления — q = 1 — р. Какова вероятность того, что при п повторных испытаниях событие А произойдет т раз?

Решение.

Это событие запишем так:

(S_n = m).

Станем искать

P(S_n = m).

Обозначим события:

A₁ — «появление события А при первом испытании»,

А₂ — «появление события А при втором испытании»,

А₃ — «появление события А при третьем испытании»,

. . .

А_т — «появление события А при m-м испытании»,

. . .

А_п — «появление события А при п-м испытании»,

— «непоявление события А при п-м испытании».

Если так, то событие, вероятность которого Р (S_n = m), может быть представлено записью

и искомая вероятность, в силу независимости событий A₁, A₂, A₃, . . ., А_п и в силу несовместимости событий

,

,

. . .

может быть записана так:

У каждого из членов этой суммы m сомножителей р и n — m сомножителей q, поэтому

(2.26)

или

. (2.27)

Это так называемое биномиальное распределение вероятнос­тей. Рассуждения, которые к нему привели, часто называют схемой Я. Бернулли, по имени математика, который первым ее рассмотрел.

С помощью формулы (2.26) можно найти значение S_n = m₀, которому соответствует наибольшая вероятность. Поскольку

,

то

P(S_n = m) >P(S_n = m – 1) при m < (n + 1) р,

P(S_n = m) < Р(S_n = m – 1) при m >(n + 1) р,

P(S_n = m) = Р(S_n = m – 1) при m = (n + 1) р,

если (n + 1)р — целое число.

Поэтому вероятнейшее значение S_n = т₀ должно удовлетворять условию

.

Поскольку р = 1 — q, то

.

Задачи

80. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

Решение.

В этом случае n = 10, m = 2, р = , q = ;

тогда

.

Ответ: .

80. Вероятность попадания в мишень одним выстрелом – . Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного попадания?

Решение.

Имеем: n = 12, m = 0, р = , q = . По формуле (2.26)

Ответ: .

80. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой 4 торпеды. Вероятность попадания каждой торпедой равна . Любая из торпед с одинаковой вероятностью может пробить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате попадания наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков крейсер тонет. Вычислить вероятность гибели крейсера.

Решение.

Обозначим события:

A₁ — «попадание одной торпедой»,

А₂ — «попадание двумя торпедами»,

А₃ — «попадание тремя торпедами»,

А₄ — «попадание четырьмя торпедами»,

А — «крейсер потоплен».

Согласно формуле (2.26)

, ,

, ,

, ,

, .

По формуле полной вероятности

.

У крейсера противника мало шансов на спасение!

Ответ: .

80. Объясните, почему следующие вопросы уклады­ваются в схему Бернулли. Укажите, в чем состоит «успех» и чему равны п и k.

а) Какова вероятность трехкратного выпадения «двойки» при десяти бросаниях игрального кубика?

б) Какова вероятность того, что при ста бросаниях монеты «орел» появится 73 раза?

в) Двадцать раз подряд бросили пару игральных кубиков. Како­ва вероятность того, что сумма очков ни разу не была равна десяти?

г) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали результат и возвратили их в колоду, затем карты перемешали. Так повторя­лось 4 раза. Какова вероятность того, что каждый раз среди выта­щенных карт была дама пик?

Решение.

Схема Бернулли предполагает, что один и тот же эксперимент повторяется в неизменных условиях, независимо, п раз; мы наблю­даем за появлением («успех») или непоявлением («неудача») в ка­ждом эксперименте одного и того же события А, вероятность появ­ления которого в каждом эксперименте постоянна и равна р. Подсчитываем, сколько раз в серии из п повторных экспериментов произойдет событие А; k – это число «успехов» в серии из п испы­таний.

а) Эксперимент – бросание кубика, число повторений п = 10.

Событие А – «выпало 2 очка» ( ); успех – появление события А (появление двойки), число успехов k = 3.

б) Эксперимент – бросание монеты, число повторений п = 100,

событие А – «выпал орел» ( ), успех – появление

события А (появление «орла»), число успехов k = 73.

в) Эксперимент – бросание двух кубиков одновременно, число повторений п= 20, событие А – «сумма выпавших очков равна 10» ( ), успех – появление события А (сумма выпавших очков оказалась 10); число успехов k = 0.

г) Эксперимент – извлечение одновременно трех карт из коло­ды 36 карт, число повторений п = 4, событие А – «среди извлечен­ных карт есть дама пик» ( ), успех – появление со­бытия А (появление дамы пик в наборе); число успехов k = 4.

Ответ: а)1) n=10,k = 3; б) n =100, k = 73;в) n = 20, k = 0;г) п = 4; k = 4.

Замечание. При решении этой задачи учащимися не нужно вычислять Р(А), достаточно сказать, что событие А имеет одну и ту же вероятность при каждом повторении эксперимента.

80. В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи».

а) Бросают пару различных монет. «Неудача» – выпадение двух «орлов».

б) Бросают игральный кубик. «Успех» – выпадение числа, кратного трем.

в) Бросают пару различных кубиков. «Неудача» – выпадение двух четных чисел.

г) Из 36 игральных карт берут 5. «Успех» – среди них нет дамы пик.

Решение.

а) Общее число исходов эксперимента ; вероятность «неудачи» ; вероятность «успеха» .

б) п = 6; исходы, благоприятствующие «успеху» – 3 и 6; т_A = 2; вероятность «успеха» ;

вероятность «неудачи» .

в) ; количество исходов, благоприятствующих «неудаче» (на каждом кубике 3 четных числа); вероятность «неудачи» ;

вероятность успеха .

г) ; количество исходов, благоприятствующих «успеху», равно (выбираем из колоды без дамы пик); вероятность «успеха» , вероятность «неудачи» .

Ответ: а) ; ; б) и ; в) и ; г) и .

80. Напишите формулы, по которым следует нахо­дить вероятность того, что при четырех бросаниях игрального ку­бика «тройка» выпадет:

а) ровно два раза;

б) ровно три раза;

в) все четыре раза;

г) не выпадет ни разу;

д) вычислите вероятности этих событий (пункты а–г).

Решение.

а) , где р – вероятность «успеха», a q –вероятность «неудачи».

б) .

в) .

д) .

Прежде всего, найдем вероятность «успеха» (один исход из 6 возможных), тогда . Вычисляем вероятности:

;

;

;

Ответ: a) 6p²q²; б) 4p³q; в)p⁴; г) q⁴; д) ; ; ; .

80. Из набора домино случайно вытаскивают одну «доминошку», записывают сумму очков на ней, и возвращают ее обратно. Так делают 3 раза. Найдите вероятность того, что:

а) дубль появляется ровно один раз;

б) дубль появляется ровно два раза;

в) дубль появляется хотя бы раз;

г) сумма очков на «доминошке» каждый раз больше 9.

Решение.

Эксперимент с 28 исходами повторяется независимым образом три раза, п = 3.

а) «Успех» – появление дубля; ; ; искомая вероятность .

б) «Успех» – появление дубля, ; , .

в) «Успех» – появление дубля, ; . Искомую вероятность можно найти как Р₃(1) + Рз(2) + Рз(3), либо через вероятность противоположного события 1 – Рз(0):

; .

г) «Успех» – сумма очков на доминошке больше 9;

(благоприятствующие исходы: 4–6, 5–5, 5–6, 6–6, то есть т_А = 4). ; k = 3. Вероятность этого события:

.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

80. Укажите значения п, k, р и q. Напишите формулу вероятности Р_п(k).

а) Случайным образом называют десять цифр. Какова вероят­ность того, что цифра 5 встретится ровно семь раз?

б) «Хорошо», если наудачу выбранная карта из 36 – не бубно­вой масти. Карту каждый раз возвращают в колоду. Какова вероят­ность того, что ровно в 90 случаях из 200 таких вытаскиваний бу­дет «плохо»?

в) Бросание кубика считается удачным, если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 бу­дут удачными?

г) Одновременно бросают три различных монеты. «Плохо», ес­ли «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что «хорошо» будет ровно в трех случаях из 1000 таких бросаний?

Решение.

а) Эксперимент: выбор одной цифры из 10 повторяется п = 10 раз; «успех» – наступление события А – «выбрана цифра 5»; ; .

Вероятность (очень мала).

б) Эксперимент: извлечение одной карты из колоды 36 карт по­вторяется п = 200 раз. «Успех» – наступление события А – «извлечена карта бубновой масти» (то, что по условию «плохо»); , , k = 90 и вероятность .

в) Эксперимент – бросание кубика, п = 293; «успех» – наступление события A – «выпало 5 или 6 очков»; ; . Вероятность .

г) Эксперимент – одновременное бросание трех монет, п = 1000. «Успех» – наступление события А – « «орлов» не меньше, чем «решек» » (то есть 2 или 3); (3 исхода, когда 2 «орла» плюс 1 исход, когда 3 «орла»); .

Вероятность

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .