§ 4. Вероятность произведения независимых событий

Событие В называется независимым от А, если его вероятность не зависит от того, произошло или не произошло событие А:

Р (В/А) = Р (В).

Это, конечно, формальное определение независимых событий. Но независимость можно определять и интуитивно — например, нетрудно сообразить, что результаты неоднократного бросания монеты — независимые события.

В случае независимости события В от события А из формулы (2.20) получим:

. (2.21)

Сопоставляя формулы (2.20) и (2.21), убеждаемся, что свойство независимости взаимно. Если событие В не зависит от осуществления А, то и А не зависит от осуществления В.

На основании (2.21) формулируем правило.

Вероятность произведения двух независимых событий равна про­изведению вероятностей этих событий.

На практике, как мы убедимся при рассмотрении примеров, для установления независимости событий обычно пользуются соображениями, основанными на опыте обращения с данными объек­тами, а не анализом формул.

Задачи

67. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появле­ния на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?

Решение.

Обозначим события:

А — «появление нечетного числа очков при бросании первой

кости»,

В — «появление пяти очков при бросании второй кости». Нам нужно найти Р (АВ). Так как события А и В совместимы и независимы, то . Но , , поэтому .

Ответ: .

67. А, В и С — совместимые и независимые события. Доказать, что .

Решение.

Допустим, что АВ = D. Тогда .

Рассмотрение этого примера подводит к обобщению правила умножения вероятностей для произвольного числа событий. В слу­чае независимости событий соответствующая формула принимает вид

. (2.22)

67. Подбрасывают 3 монеты. Найти вероятность выпадения гербов на всех трех монетах.

Решение.

Обозначим события:

А₁ — «появление герба при бросании первой монеты»,

А₂ — «появление герба при бросании второй монеты»,

А₃ — «появление герба при бросании третьей монеты».

Поскольку события A₁, А₂, А₃ совместимы и независимы, то на основании вывода, полученного при рассмотрении второго примера, получим:

.

Ответ: .

67. Если события А и В независимы, то события А и так же не­зависимы.

Решение.

Действительно, поскольку А и В независимы, то Р (В/А) = Р (В) и .

Аналогично убеждаемся, что в случае независимости событий А и В независимыми будут события В и .

§ 5. Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность события А, которое про­исходит вместе с одним из несовместимых событий В₁, В₂, В₃, ..., В_п образующих полную группу попарно-несовместимых собы­тий, т.е.:

P (А) = Р (АВ₁) + Р (АВ₂) + Р (АВ₃) + ... + Р (АВ_п). (2.23)

По формуле (2.20)

,

,

. . .

.

Поэтому

. (2.24)

Равенство (2.24) носит название формулы полной вероятности. С помощью этой формулы легко находим так называемую формулу Бейеса

(2.25)

при i = 1, 2, ..., п.

Особенно широко она применяется при решении задач, связан­ных с вероятностной оценкой гипотез.

Задачи

67. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность по­падания первым выстрелом 0,4, вторым — 0,5, третьим — 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя попада­ниями с вероятностью 0,6, а тремя — наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Решение.

Рассмотрим несовместимые события, составляющие полную группу: A_о, A₁, A₂, A₃.

A ₀ — «промах»,

А₁ — «одно попадание»,

A₂ — «два попадания»,

A₃ — «три попадания»,

В₁ — «попадание с первого выстрела»,

B₂ — «попадание со второго выстрела»,

B₃ — «попадание с третьего выстрела»,

A — «кабан убит».

Согласно формуле полной вероятности

Вспомнив, что события, противоположные событиям В₁, В₂, В₃, обозначаются соответственно , имеем:

,

,

,

.

Поскольку В₁, B₂, B₃ независимы и независимы, то

,

,

Из условия задачи известно, что Р(B₁) = 0,4; Р(В₂) = 0,5; Р(В₃) = 0,7;

отсюда находим Р( ) = 0,6; Р ( ) = 0,5; Р ( ) = 0,3. Поэтому

,

,

,

.

Из условия следует Р (А/А_о) = 0; Р(А/А₁) = 0,2; Р (А/А₂) = 0,6;

Р (А/А₃) = 1.

Подставляя эти результаты в формулу полной вероятности, получим:

.

Оказывается, что тремя выстрелами не так просто положить на лопатки кабана. Охотникам, впрочем, это хорошо известно.

Ответ: 0,458.

67. В одном из трех ящиков 6 белых и 4 черных шарика, во втором — 7 белых и 3 черных, в третьем — только 8 белых. Наугад выбираем один из трех ящиков и из него снова наугад выбираем один шарик. Он оказался белым. Какова вероятность того, что этот шарик вынут из второго ящика?

Решение.

Обозначим события:

A₁ — «наугад выбран первый ящик»,

А₂ — «наугад выбран второй ящик»,

А₃ — «наугад выбран третий ящик»,

А — «наугад вынут белый шарик».

Ясно, что

.

Далее легко находим:

.

По формуле Бейеса (5.8) искомая вероятность

.

Ответ: .

67. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удовлетворительно — на 10 и неподготовившийся — на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

Решение.

Обозначим события:

A₁ — «приглашен ученик, подготовившийся на отлично»,

A₂ — «приглашен ученик, подготовившийся хорошо»,

А₃ — «приглашен ученик, подготовившийся удовлетвори­тельно»,

A₄ — «приглашенный ученик к экзаменам не готов»,

А — «приглашенный ученик ответил на 3 вопроса».

Согласно условию задачи

Р(A₁) = 0,3; P(A₂) = 0,4; Р (А₃) = 0,2; Р (A₄) = 0,1.

Кроме того, ясно:

Р(А/А₁)=1, , , .

Следует найти Р(A₁/A).

По формуле Бейеса (5.8).

.

Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнительных вопросов.

Ответ: .