ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

для студентов дневного отделения

физико-математического факультета

специальность «Прикладная информатика»

Воронеж 2008

УДК 519.2 (076.1)

Составитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко

Сборник задач по теории вероятностей для студентов дневного отделения физико-математического факультета специальность «Прикладная информатика» / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2008. – 75 с.

Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. В сборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; элементы комбинаторики и вычисление вероятностей; условная вероятность; схема Бернулли.

Предназначен для студентов 2 курса специальности «Прикладная информатика» дневного отделения физико-математического факультета Воронежского госпедуниверситета.

© Гордиенко Н.А., составление, 2008

Содержание

Предисловие 3

Избранные задачи теории вероятностей

Глава 1. Случайное событие и операции над ними

§1. Случайное событие 6

§2. Множество элементарных событий 11

§3. Операции над событиями 12

Глава 2. Наука о подсчете числа комбинаций – комбинаторика

§1. Общие правила комбинаторики 20

§2. Выборки элементов 21

§3. Выборки с повторениями 25

Глава 3. Вероятность события 31

Глава 4. Операции над вероятностями

§1. Вероятность суммы несовместных событий 46

§2. Вероятность суммы совместных событий 49

§3. Условные вероятности 51

§4. Вероятность произведения независимых событий 53

§5. Формула полной вероятности 54

Глава 5. Независимые повторные испытания

§1. Формула Я. Бернулли 58

§2. Формула Муавра–Лапласа 65

§3. Формула Пуассона 67

§4. Формула Лапласа 69

Возникновение и развитие теории вероятностей как науки 73

Литература 77

Предисловие

В книге «Госпожа удача» У. Уивер пишет: «Теория вероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные с нашей повседневной деятельностью. Мир промышленности, страховые компании в большей степени являются должниками вероятностных законов. Сама физика имеет существенно вероятностную природу; такова же в основе своей и биология. Между тем, несмотря на эту важность, универсальный характер теории вероятностей и статистики все еще не стал общепринятым среди деятелей образования. Надо надеяться, что элементы теории вероятностей, насколько возможно, будут представлены в среднем образовании...»

С тех пор как были написаны эти строки, широко развернулась реформа математического образования; того, чего желал У. Уивер, мы отчасти достигли – сейчас вероятность изучают в средних школах многих стран, и вопрос о том, когда она войдет составной частью в школьные программы всех стран, есть не более чем вопрос времени.

В вузах курс теории вероятностей читается в основном на старших курсах. Именно этим объясняется потребность в составлении сборника задач по теории вероятностей для студентов младших курсов.

Основная часть, которая носит название «Избранные задачи теории вероятностей» состоит из пяти глав.

Первая глава «Случайные события и операции над ними» состоит из трех параграфов. Основная цель раздела – дать первоначальные понятия, необходимые в дальнейшем при решении вероятностных задач, и научиться их различать. С этой целью в первом параграфе «Случайное событие» на основании разобранных примеров вводится понятие случайного события, а также двух частных видов событий: достоверного и невозможного; приводится 42 примера, как на определение вида события, так и на словесную оценку события («маловероятно», «нулевая вероятность», «стопроцентная вероятность»). Во втором параграфе «Множество элементарных событий» вводится на конкретных примерах понятия множества и подмножества элементарных событий. В третьем параграфе «Операции над событиями» подробно представлены следующие операции: сложение, умножение, вычитание. Они рассматриваются сначала для частных случаев, затем в общем виде и графически (в виде круговых диаграмм); решается 15 разнотипных задач.

Во второй главе «Наука о подсчете числа комбинаций – комбинаторика» изучаются вопросы о том, сколько различных выборок, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Данная глава включена в настоящий сборник потому, что иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, т.к. методы комбинаторики существенно помогают при решении задач теории вероятностей осуществлять подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях. Данный раздел, в свою очередь, состоит из трех параграфов. В первом параграфе «Общие правила комбинаторики» вводятся правила суммы и произведения. Во втором параграфе «Выборки элементов» рассматриваются выборки без повторений, а именно перестановки, размещения и сочетания; решается 10 задач. В третьем параграфе «Выборки с повторениями» даются определения размещений, сочетаний и перестановок с повторениями; приводится 7 задач с решениями на данную тему.

Третья глава «Вероятность события» – это фактически основа курса. В ней даются определения классической и геометрической вероятностей; решаются 58 разнотипных задач; рассматриваются вероятности достоверного и невозможного событий.

Четвертая глава «Операции над вероятностями» состоит из пяти параграфов. В первом – «Вероятность суммы несовместных событий» – дается формула и правило нахождения суммы вероятностей, а также геометрическая интерпретация формулы; приводится с решениями 6 задач. Второй параграф – «Вероятность суммы совместных событий» – имеет ту же структуру.

Пятая глава «Независимые повторные испытания» состоит из 4 параграфов. В первом параграфе «Формула Я. Бернулли» рассматривается следующая проблема: «Как определить вероятность того, что при n повторных испытаниях событие произойдет ровно m раз»? Эту проблему решил ученый Я. Бернулли и вывел формулу, которая так и называется формула Я. Бернулли. На применение этой формулы решается 25 задач (приводятся задачи как на непосредственный подсчет вероятностей, так и обратные задачи на нахождение числа n). Во втором параграфе «Формула Муавра–Лапласа» рассматривается ситуация, когда вычисление вероятности с помощью формулы Я. Бернулли громоздко и затруднительно из-за больших значений n и m. Данную проблему решили математики А. Муавр и Лаплас. Они вывели формулу, которая так и называется формулой Муавра–Лапласа. На применение этой формулы приводится 9 задач. В третьем параграфе «Формула Пуассона» рассматривается ситуация, когда имеем дело с редко происходящими событиями, т.е. формула Муавра дает результаты, которые значительно отклоняются от результатов, полученных по формуле Я. Бернулли. Данной проблемой занимался Пуассон и вывел формулу для нахождения вероятности в данном случае. На применение этой формулы приводится 3 задачи. В четвертом параграфе «Формула Лапласа» решается проблема определения вероятности того, что при n испытаниях событие А произойдет не менее a и не более b раз. Данную проблему решил Лаплас. Здесь приводится 5 задач.

В заключении описывается история возникновения и становления теории вероятностей как науки.