Работа № 3 Множества и события

Цель Разработка программного обеспечения для определения относительной частоты появления случайного события, используя математический аппарат теории множеств.

Теоретический материал

Отдельные элементарные события данного случайного эксперимента можно рассматривать как элементы некоторого множества. Тогда совокупность всех возможных исходов данного эксперимента будет представлять собой множество I элементарных исходов. Это множество в теории вероятностей называется также пространством, (множеством) элементарных событий.

Обычно представляет интерес какая-либо комбинация элементарных событий, называемая случайным событием. Например, при подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий имеет шесть элементов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайное событие — появление четного числа точек будет комбинацией только трех элементов: 2, 4 и 6 указанного пространства. Всякое случайное событие можно рассматривать как подмножество (подпространство). Отдельные элементарные события можно рассматривать как элементарные подмножества.

Если отдельные элементарные события равновозможны и число элементов в пространстве I конечно, то вероятность события А можно определить как отношение числа элементов подпространства А к числу элементов пространства I, т. е.

Р(А) = m(А)/n(I). 3.1

Пространства I и Ф также можно рассматривать как события, вероятности которых согласно формуле (1.15) будут

(3.2)

Следовательно, пространство I элементарного события и его пустое подпространство Ф являются достоверным и невозможным событием соответственно.

Если А случайное событие, то 0 < m(A) < m(I) и согласно формуле (3.1)

0 < Р(А) < 1. Это соответствует классическому определению вероятности.

Если элементарные события пространства I не являются равновозможными, то изложенное здесь остается в силе, но необходимо отдельные элементарные события брать с соответствующим весом. Веса можно брать пропорциональными относительной частоте соответствующего элементарного события. Сумма всех весов должна быть равна единице.

Событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В в данном опыте, называется суммой событий A и В и обозначается С₁ = A + В (читается так: С₁ равно A или В). Появление события С₁ означает появление A или В, или A и В вместе. Событие С₁ {2, 4, 5, 6} в примере 1.4 будет суммой A {2, 4, 6} и В {4, 5, 6}.

Событие, состоящее в появлении обоих событий A и В в данном опыте, называется произведением событий A и В и обозначается С ₂ = AВ (читается так: С₂ равно A и В).

Событие С₂ {4, 6 } является произведением событий A и В, соответствующих множествам A и В в примере 1.4.

События А и ‾А, для которых выполнены равенства A+‾А =I и A‾А = Ф, называются противоположными. Первое равенство показывает, что в любом опыте будет появляться одно из противоположных событий, второе — что в одном и том же опыте они появиться одновременно не могут.

Два события А и В называются несовместимыми, если их появление в одном и том же опыте невозможно, т. е. если АВ = Ф. Если эти события могут появиться в одном опыте, то они совместимы. Например, события А {2, 4, 6} и В {4, 5, 6} примера 1.4 совместимы, так как появление очков 4 и 6 означает появление A и Б.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Пусть имеются два несовместимых события A и В, каждое из которых может осуществиться в m(А) и m(В) элементарных событиях. Если разделить обе части равенства на общее число элементарных событий, то получим

Равенство ( ) выражает сущность так называемой теоремы сложения вероятностей несовместимых событий.

Аналогично из равенства (1.13) можем получить равенство

которое выражает сущность теоремы сложения вероятностей совместимых событий.

Если полная группа событий состоит только из двух противоположных событий A и ‾А, то равенство ( ) принимает вид

Если вероятность данного события В не зависит от появления или не появления другого события А, т. е.

то будем считать, что событие В независимо от события А. В противоположном случае событие В зависимо от А. Свойство независимости событий взаимно, т. е. если Р (В|А ) = Р (В), то и Р (А|B) =Р(А).

Определить условную вероятность данного события, исходя из классического определения, нетрудно.

Пусть данный случайный эксперимент имеет n равновозможных элементарных событий и пусть А и В представляют собой какие-либо комбинации этих событий. На основе событий А и В можем образовать полную группу несовместимых событий: АВ, А‾В, ‾АВ и ‾А‾В.

Пусть каждому из этих событий благоприятствует соответственно элементарные события n₁, n₂, n₃, и n₄. Тогда их вероятности будут

Для выполнения условия 1.26 необходимо, чтобы

Так как событие А появляется только при появлении событий АВ и А‾В, то ему будут благоприятны n₁ + n₂ из всех n. Аналогично событию В будут благоприятны n₁ + n₃. Тогда можем записать:

При условии, что событие A появилось, n₁ + n₂ элементарных событий, которые были благоприятны событию A, образуют множество равновозможных элементарных событий, при появлении одного из которых возможно появление события В. При этом число элементарных событий, благоприятных событию В, уже будет n₁. Тогда можно записать

Сравнивая Р(АВ) из (1.30) с Р(А) из (1.31) и Р (В|А) из(1.32), получаем

Аналогично получаем равенство

т. е. вероятность произведения двух совместимых событий равна произведению вероятности одного события, независимо какого, и условной вероятности другого.

Из формулы (1.33) можем определить, если Р (А) <> 0, условную вероятность

Если Р (А) = 0, то условная вероятность становится неопределенной.

В этих выражениях все условные вероятности заменяются безусловными.

Формула полной вероятности

Пусть имеется полная группа попарно несовместимых событий А₁, А ₂, ., А_n и событие В может появляться совместно с любым из событий этой группы. Пусть известны вероятности Р (A_i) и Р (B|Ai), где i = 1,2, . . ., п. Определим безусловную вероятность Р (В) события В. Для определения этой вероятности рассмотрим группу событий:

Эти события являются несовместимыми, но не образуют полной группы, так как в данном опыте может не появиться ни одно из них, а появится событие А_i‾_:В (i = 1, 2, ., n).

Отсюда ясно видно, что появление события В означает появление любого из несовместимых событий, т. е.

Тогда, используя теорему сложения вероятностей, получим

Если для каждого слагаемого в правой части (1.40) используем теорему умножения вероятностей, то для Р (В) получим

Эта формула называется формулой полной вероятности.

В ряде случаев в теории и практике представляет интерес определение вероятности события A_i (i = 1, 2, . . ., n) при условии, что в опыте появилось событие В, т. е. определение условной вероятности Р (А_i|В). Вероятность Р (А_i|В). называют апостериорной (послеопытной).

Согласно теореме умножения вероятностей можно записать

откуда

Эта известная формула Байеса находит применение в различных областях.

Пример 1 В партии, состоящей из 20 изделий, имеется три негодных. Из партии взяты наугад последовательно два изделия без возвращения.

Определить вероятность Р (А) того, что первое изделие будет негодным. Определить безусловную вероятность Р (В) того, что второе изделие будет негодным.

Решение. Пользуясь классическим определением вероятности, получим Р (А) = 3/20.

Событие В (второе изделие негодное) может наступить с любым из противоположных событий А и ‾А, которые образуют полную группу несовместимых событий, т. е. для Р (В) может быть применена формула полной вероятности.

Имея в виду, что Р (А) = 3/20; Р (‾А) = 17/20; Р (В|А) = 2/19; Р (В| ‾А) =3/19 и получаем

Отсюда, безусловная вероятность взятия негодного изделия при условии, что взятое перед ним изделие не возвращается, остается постоянной.

Пример 2. Блоки питания изготовляются на трех различных предприятиях: на первом изготовляется 20, на втором — 30 и на третьем — 50% . Первое предприятие гарантирует, что 90% деталей будут работать безотказно не менее 1000 ч, второе, что 95% деталей и третье, что 97%. До истечения 1000 ч работы блок питания выходит из строя. Определить вероятность изготовления этой детали каждым из предприятий.

Решение. ОбозначимА₁, А₂, и А₃ события того, что один случайно выбранный блок изготовлен соответственно на первом, втором и третьем предприятиях.

Вероятность того, что случайно выбранный блок выйдет из строя до истечения 1000 ч, согласно условию задачи будет

Искомыми вероятностями будут Р (А₁|В), Р (A₂|B) и Р(А₃|В). События A₁, A₂ и А₃ образуют полную группу несовместимых событий, а событие В может появиться только совместно с некоторым из них, т. е. условия использования формул полной вероятности и Байеса выполнены. Тогда согласно (1.42)

Видно, что вероятность события (гипотезы) A₁ до опыта была Р (A₁) = 0,2, а после опыта, когда уже известно, что событие В наступило, вероятность этой гипотезы уже Р (А₁|В) = 0,4. Таким образом, формула Байеса дает возможность после опыта сделать переоценку вероятности рассматриваемых гипотез.

Практическое задание

Используя в качестве источника данных интернет (например onliner.by) составить базу данных из выбранной предметной области (Приложение Б).

Индивидуальная БД представляет собой таблицу в 30 строк. В качестве столбцов выступают показатели качества и цена. Не менее 6 параметров качества. Обязательно включить параметр «Остаточная стоимость через 2-3 года»

Пример БД «Велосипеды»

	База фактов в реальных величинах
№	Модель	Число передач	Высота подъема руля	Диаметр колес	Вес, кг	Остаточная стоимость через 2-3 года	Цена, RR
	Номер параметра качества	1	2	3	4	5	6
1	Schwinn Sierra	7,00	80,00	26,00	13,6	0,50	29350
2	Orbera Carpe H40	24,00	75,00	28,00	13,0	0,50	19400
3	Giant Escape 2	3,00	80,00	28,00	14,5	0,70	22375
4	Merida Speeder T3	27,00	90,00	26,00	13,2	0,70	25188
5	Orbera Dude A10	1,00	50,00	26,00	10,2	0,60	37526

Введем обозначение следующих элементарных событий:

А1-первый параметр в диапазоне 0..1/4 от размаха параметра.

А2- первый параметр в диапазоне 1/4…2/4 от размаха параметра.

А3- первый параметр в диапазоне 2/4…3/4 от размаха параметра.

А4- первый параметр в диапазоне 3/4. . 1 от размаха параметра.

Аналогично события B1, B2, B3,B4 – для второго параметра, С1, C2 C3 C4 – для третьего; D1, D2, D3, D4 для третьего; F1, F2, F3,F4 для четвертого; J1…J4-для пятого и H1..H4 для шестого параметра

Считая все события равновероятными, используя свойства множеств определить вероятность появления события G, выраженного через события G=f(Ai,Bi,Ci,Di,Fi,Ji).

Уравнение события G представлено в приложении

Порядок выполнения

1. Разработать программу для определения количества элементов в соответствующем множестве и определить вероятности появления всех элементарных событий.

2. Определить вероятность события G, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Составить отчет

3.1 Содержание отчета

3.1.1. Представить блок схему программы

3.1.2. Представить вероятности элементарных событий.

3.1.3. Представить формулу и результаты определения вероятности события G.

4. Ответить на контрольные вопросы

4.1 Дать определения «пересечения и дополнения множеств»

4.2 Дать определения «коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов»

4.3. Дать определение теоремы сложения вероятностей несовместимых событий.

4.4. Дать определение теоремы сложения вероятностей совместимых событий.

4.5. Дать определение условной вероятности и формулы Байеса. Определить вероятность нахождения показателей качества на заданном уровне при определенном целевом уровне.