2.3. Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых систем автоматического управления по виду амплитудно-фазовой характеристики соответствующей разомкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста:

1) если система устойчива в разомкнутом состоянии или находится на границе устойчивости (характеристический полином разомкнутой си­с­темы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а остальные корни - отри­цательные вещественные части), то для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до +∞ не охватывала точку с координатами (-1,j0) и не проходила через нее;

2) если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k корней в первой полуплоскости комплексной плоскости корней, то для устойчи­вости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомк­нутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ охватывала точку с координатами (-1, j0) k/2 раз, т.е. число пересечений АФХ от­рицатель­ной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении. На рис. 6 показаны АФХ разомкнутых систем согласно формулировке кри­терия Найквиста. Характеристики систем, устойчивых в разомкнутом со­стоя­нии, приведены на рис. 6,а. Характеристики I и 4 соответствуют устойчи­вым замкнутым системам, характеристика 3 - неустойчивой, харак­тери­стика 2 - системе, находящейся на границе устойчивости.

На рис. 6,а приведены характеристики статических систем. АФХ аста­тических систем уходят в бесконечность, так как в знаменателе комплексной частотной функции разомкнутой системы W( jω) имеется множитель (jω)r, где r - порядок астатизма.

Для определения устойчивости астатических систем по критерию Найквиста необходимо начала АФХ этих систем, находящиеся в беско­нечности при ω=0, мысленно соединить пунктирными линиями с поло­жительной действительной полуосью дугой бесконечно большого радиуса против хода часовой стрелки (рис. 6,6). Для устойчивой сис­темы точка (-1, j0) не должна охватываться АФХ, дополненной дугой, со­единяющей ее с дей­ствительной положительной полуосью.

На рис. 6,б показаны АФХ астатических систем. Сплошные кривые 2 и I относятся к устойчивым системам, а штриховые кривые 1а и 2а соот­ветствуют неустойчивым системам с астатизмом соответственно первого и второго порядка.

На рис. 6,в показаны АФХ систем, неустойчивых в разомкнутом со­стоянии, но устойчивых в замкнутом. Характеристика 1 соответствует К=1, характеристика 2 - К=2. При подсчете АФХ разомкнутой системы при ω=0 начинается на отрезке (-∞ ;-1) отрицательной действительной полуоси, этому соответствует 1/2 пересечения.

Порядок исследования систем по критерию Найквиста.

1. Для проверки устойчивости разомкнутой системы исследуемую си­стему приводят к одноконтурному виду и записывают характеристиче­ское уравнение разомкнутой системы:

Р(р) =0 или Р₁(р) Р₂(р) ... P_n(р)=0; (29)

где Р₁(p), P₂(р),Р_n(р)– полиномы от р , стоящие в левой части уравнения звеньев.

Проверяют, все ли корни уравнений являются отрицательными дей­ствительными или комплексными с отрицательной вещественной частью. Для этого необходимо, чтобы все корни уравнений

P₁(p)=0,

P₂(p)=0, (30)

………..

Pn(p)=0

лежали в левой полуплоскости. Если это условие удовлетворяется, то разомкнутая система устойчива.

Так как уравнение вида (29) имеет сравнительно невысокий поря­док, то выполнить проверку (30) несложно. Для уравнений первого и второго порядка все корни принадлежат левой полуплоскости, если коэффициенты уравнения положительны. Для уравнений третьего и более высоких поряд­ков используют другие критерии устойчивости.

Например, по критерию Гурвица можно проверить устойчивость, и если условие не удовлетворяется, то по углу поворота вектора Михайло­ва определить число корней в правой полуплоскости. Угол поворота век­тора Михайлова при изменении частоты от 0 до +∞

(31)

где n - порядок уравнения; k - число корней в правой полуплоскости. k=n/2 - φ/π .

Если хотя бы одно уравнение вида (29) имеет корни в правой полу­плоскости, то разомкнутая система неустойчива. Число корней характе­ристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости равно сумме таких корней уравнений.

2. Для построения АФХ разомкнутой системы в выражении переда­точ­ной функции

(32)

выполняется подстановка р=jω , где Q(jω), P(jω) числи­тель и знамена­тель передаточной функции разомкнутой системы после подстановки р=jω; UQ(p), VQ(p) - действительная и мнимая части комплексного выра­жения Q(jω) ; Up(ω) и Vp(ω)- действи­тельная и мнимая части комплекс­ного выражения P(jω) .

Отложив найденные значения U(ω) и V(ω) на комплексной плос­кости и соединив их, получим АФХ системы.

3. По виду АФХ определяют устойчивость замкнутой системы.