2.8. Выбор коэффициента заполнения обмотки
Коэффициент заполнения обмотки зависит от ряда факторов, среди которых размеры сечения обмоточного провода, толщина изоляции, вид намотки, точность работы станка, квалификация обмотчика.
Обмотки электромагнитов постоянного тока в зависимости от способа включения подразделяются на:
- обмотки напряжения, включаемые на полное напряжение источника питания;
- обмотки тока, включаемые последовательно в рабочую цепь.
Ток в обмотке напряжения определяется ее сопротивлением, ток в обмотке, включаемой последовательно, практически не зависит от ее параметров, а определяется характеристиками потребителей, в цепь которых она включается.
Обмотки напряжения выполняются с большим числом витков круглого обмоточного провода. Обмотки тока имеют малое число витков провода большого сечения квадратной или прямоугольной формы. Коэффициент заполнения обмотки, выполненной круглым проводом всегда меньше чем у обмотки, выполненной проводом прямоугольным или квадратным.
Как правило, толщина изоляции относительно больше на проводах меньшего сечения, поэтому величина коэффициента заполнения уменьшается при уменьшении размеров сечения. Рядовая намотка на станке автомате дает большее значение коэффициента заполнения, наличие прокладок между рядами снижает его также как и неравномерная (беспорядочная, дикая) намотка.
Коэффициент заполнения характеризует эффективность использования пространства занимаемого обмоткой и определяется как отношение суммарной площади сечения всех проводников обмотки ко всей занимаемой площади.
.
Учесть влияние всех факторов на величину коэффициента заполнения обмотки не представляется возможным до тех пор, пока конструкция электромагнита полностью не определится. Поэтому при предварительных расчетах приходится пользоваться усредненными значениями, полученными на основании многолетнего опыта.
Рис.2.5. Определение коэффициента заполнения обмоточного
пространства
Провода разных марок: 1 – эмалированные (ПЭЛ, ПЭВ, ПЭВА, ПЭТВ и др.); 2 – эмалированные с однослойной волокнистой изоляцией из шелка натурального и синтетического (ПЭЛШО, ПЭВЛО и др.); 3 – с двухслойной волокнистой бумажной и стеклянной изоляцией(ПБД, ПСД, АПСД, ПСДК и др). Верхние границы зон – без межслойной изоляцией, нижние – с изоляцией между каждым рядом.
На рис.2.5 приведены такие данные в зависимости от диаметра обмоточного провода основных марок. Разброс в пределах заштрихованной зоны объясняется, во-первых, неравномерностью укладки провода, которая зависит от технологии, во-вторых, наличием прокладок между рядами их толщины и частоты прокладывания [1].
2.9. Определение размеров сторон сечения обмотки.
Для дальнейших расчетов обмотки при
заданной площади сечения необходимо
выбрать два размера – осевую длину
и толщину
,
от которых зависит величина площади
наружной поверхности. От площади наружной
поверхности, в свою очередь, зависит
величина теплового потока, отводимого
от обмотки за время работы. Поверхность
теплоотвода включает две цилиндрические
поверхности (внешнюю и внутреннюю) и
две торцовые кольцевые поверхности.
Площадь поверхности обмотки может быть представлена формулой:
, (1)
где
,
- диаметры цилиндрической обмотки –
внешний и внутренний соответственно;
Рис.1. Цилиндрическая обмотка.
Площадь сечения обмотки
. (2)
Отношение сторон сечения обмотки
. (3)
На основании последних выражений можно записать:
,
, (4)
а также, учитывая, что (Рис.1)
, (5)
выражение площади поверхности обмотки приводится к виду:
. (6)
Если форма сечения
обмотки – квадрат (
),
который показан пунктирной линией на
рис.1, то площадь поверхности
. (7)
Введем обобщенный параметр
. (8)
После ввода
параметра
получим:
,
.
Далее целесообразно перейти к безразмерной форме, приняв в качестве базовой величины площадь поверхности обмотки с квадратной формой сечения. Относительное значение поверхности
.
(9) Таким образом, площадь поверхности
обмотки представляет собой функцию,
значение которой зависит от обобщенного
параметра
,
исходных данных (
и
)
и величины
,
определяющей форму сечения обмотки.
Функция
имеет экстремум, что видно по выражению
производной
. (10)
Производная обращается в нуль при условии:
. (11)
Из последнего выражения вытекает, что для нахождения точки экстремума имеем кубическое уравнение:
. (12)
Один из корней кубического уравнения вещественный. Для нахождения вещественного корня сведем свободный член к -1, для этого введем масштабный множитель [2]
. (13)
При этом положим
.
Тогда
. (14)
Учитывая, что
отрицательно, а
положительно, то между
и
должен быть, по меньшей мере, один
вещественный корень. Положим
и вычислим
.
Если
положительно, то должен существовать
корень, лежащий между 0 и 1; если
отрицательно – корень лежащий между 1
и
.
Кроме того, из равенства
следует, что все
три корня не могут расположиться между
0 и 1 или между 1 и
.
Следовательно, если
,
то в интервале [0,1] должен лежать один и
только один вещественный корень, тогда
как при
один и только один вещественный корень
должен быть в интервале [1,
].
Последний интервал может быть переведен
в интервал [1,0] с помощью преобразования
. (15)
которое приводит только к тому, что коэффициенты уравнения меняют свой порядок следования:
. (16)
Задачу отыскания
приближенного значения корня на интервале
[0,1] можно решить, используя полиномы
Чебышева. При помощи этих полиномов
можно выразить с небольшой ошибкой
какую-либо степень
через более низкие степени. В частности,
третий полином Чебышева
,
построенный для интервала [0,1], дает
. (17)
Найдём точку
экстремума функции (9). Примем, что
,
а в соответствии с выражением (13)
.
Уравнение (14) примет вид:
.
Так как для
значение
,
то, применив преобразование (15), переведем
поиск корня на интервал [0,1]. Уравнение
(16) примет вид:
.
Разрешая последнее
выражение относительно
,
найдем, что
. (18)
Приравнивая правые части (17) и (18) получаем
.
Решение этого квадратного уравнения
.
Выбираем решение в интервале [0,1].
,
.
Так как , то координата точки экстремума
.
Для определения
вида экстремума вычислены значения
производной по (10) при
и при
.
При
,
а при
,
следовательно, в точке экстремума имеем
минимум. На рис.2 представлены графики
зависимости площади поверхности обмотки
от величины
,
построенные по выражению (9) для различных
значений
.
Рис.2. Зависимость
относительной площади поверхности
обмотки
от
для различных значений параметра
.
Линии графиков на рис.2 пересекаются в одной точке ( ) независимо от величины параметра . При обмотка имеет осевое сечение в форме квадрата. Так как периметр квадрата меньше периметра прямоугольника, то длина средней силовой линии при квадратной форме сечения будет минимальной и, как следствие, её намагничивающая сила также будет минимальной. В месте с этим внешний диаметр обмотки, да и всей разрабатываемой конструкции, увеличивается. При наличии ограничений на габаритные размеры, очевидно, целесообразно перейти к иной форме сечения обмотки – прямоугольной.
В графиках
относительной площади поверхности при
наблюдается “провал”, наиболее сильно
выраженный для малых значений
.
С целью сохранения или даже увеличения
площади теплоотвода обмотки значения
следует выбирать, минуя провал. Для
выход из провала происходит при
.
Большим значениям соответствует обмотка меньшей толщины . При меньшей величине укорачивается длина силовых линий магнитного потока рассеяния и уменьшается магнитное сопротивление пути потока, следовательно, возрастает сам поток. Это может потребовать увеличения намагничивающей силы обмотки, в связи с этим эффект увеличения поверхности теплоотвода за счет увеличения величины может быть в значительной мере нейтрализован.
Как видно из рис.2
малые значения
практически исключают возможность
сохранить поверхность теплоотвода на
уровне
.
Малые значения параметра
являются
(см. выражение (8)) получаются при выборе
излишне большого значения индукции в
рабочем воздушном зазоре, что уменьшает
площадь полюса и его диаметр в случае
осесимметричной конструкции.
Более благоприятные
условия для варьирования формы сечения
обмотки существуют когда
.
При
“провал” в кривой площади теплоотвода
практически исчезает.