- •Науку цю у давнині з азартних ігор почали, віками потім розвивали розумні люди на Землі, щоб ви її застосували.
- •Основні поняття теорії ймовірностей та
- •Предмет теорії ймовірностей
- •Алгебра випадкових подій
- •Приклад 2. Два стрільці стріляють у мішень.
- •Приклад 3. Кидають шестигранний кубик. Позначимо події так:
- •Позначимо
- •Означення та властивості імовірності та частості
- •Основні властивості імовірності
- •Основні поняття та принципи комбінаторики
- •Основні принципи комбінаторики
- •2. Основні теореми теорії імовірностей
- •Теорема додавання ймовірностей
- •Залежні та незалежні події, умовні імовірності
- •Теорема множення ймовірностей
- •Імовірність появи хоча б однієї випадкової події
- •2.5. Надійність системи
- •Системи, що складаються з елементів, з’єднаних послідовно:
- •Системи, що складаються з елементів, з’єднаних паралельно:
- •2.6. Формули повної імовірності та Байєса
- •3. Послідовності випробувань
- •Граничні теореми в умовах схеми Бернуллі
- •4. Випадкові величини
- •4.1. Види випадкових величин та способи їх задання
- •4.2. Числові характеристики випадкових величин
- •4.3. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин
- •4.4. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
- •4.4.1. Нормальний закон розподілу
- •5. Двовимірні випадкові величини
- •5.1. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини
- •5.1. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини
- •5.2. Умовні закони розподілу складових дискретних двовимірних випадкових величин
- •5.3. Числові характеристики дискретних двовимірних випадкових величин
- •Завдання № 1
- •Завдання № 2
- •Завдання № 3
- •Завдання № 5
- •Завдання № 6
- •Завдання № 7
- •Додаток а Значення функції
- •Додаток б
Завдання № 7
Розподіл ймовірностей дискретної двовимірної випадкової величини задано в таблиці.
Знайти:
безумовні закони розподілу складових;
умовний закон розподілу складової х при умові, що складова y = y2;
умовний закон розподілу складової y при умові, що складова x = x1;
коефіцієнт кореляції величин х та y.
1. |
X Y |
2 |
3 |
4 |
|
2. |
X Y |
1 |
3 |
5 |
–2 |
0,21 |
0,13 |
0,07 |
–4 |
0,17 |
0,13 |
0,10 |
|||
1 |
0,05 |
0,04 |
0,11 |
–2 |
0,08 |
0,15 |
0,12 |
|||
4 |
0,19 |
0,06 |
0,14 |
0 |
0,10 |
0,12 |
0,08 |
3. |
X Y |
5 |
7 |
9 |
|
4. |
X Y |
–5 |
–3 |
–1 |
1 |
0,12 |
0,15 |
0,16 |
1 |
0,18 |
0,02 |
0,09 |
|||
4 |
0,03 |
0,09 |
0,13 |
4 |
0,11 |
0,17 |
0,13 |
|||
7 |
0,10 |
0,06 |
0,11 |
7 |
0,09 |
0,11 |
0,10 |
5. |
X Y |
8 |
10 |
12 |
|
6. |
X Y |
–3 |
–1 |
1 |
1 |
0,15 |
0,12 |
0,08 |
2 |
0,09 |
0,13 |
0,07 |
|||
3 |
0,05 |
0,18 |
0,02 |
4 |
0,11 |
0,06 |
0,14 |
|||
5 |
0,09 |
0,12 |
0,19 |
6 |
0,07 |
0,14 |
0,19 |
7. |
X Y |
–8 |
–3 |
2 |
|
8. |
X Y |
5 |
10 |
15 |
4 |
0,11 |
0,16 |
0,04 |
3 |
0,09 |
0,08 |
0,13 |
|||
7 |
0,08 |
0,11 |
0,13 |
5 |
0,11 |
0,15 |
0,04 |
|||
10 |
0,17 |
0,08 |
0,12 |
7 |
0,19 |
0,11 |
0,10 |
9. |
X Y |
7 |
8 |
9 |
|
10. |
X Y |
10 |
13 |
16 |
–3 |
0,07 |
0,12 |
0,13 |
–5 |
0,08 |
0,12 |
0,07 |
|||
–1 |
0,08 |
0,13 |
0,07 |
–1 |
0,13 |
0,11 |
0,08 |
|||
1 |
0,13 |
0,18 |
0,09 |
3 |
0,11 |
0,17 |
0,13 |
11. |
X Y |
4 |
8 |
12 |
|
12. |
X Y |
3 |
6 |
13 |
6 |
0,07 |
0,12 |
0,09 |
–7 |
0,05 |
0,13 |
0,12 |
|||
10 |
0,14 |
0,09 |
0,11 |
–4 |
0,18 |
0,06 |
0,11 |
|||
14 |
0,14 |
0,12 |
0,12 |
–1 |
0,17 |
0,08 |
0,10 |
13. |
X Y |
6 |
11 |
16 |
|
14. |
X Y |
–6 |
–3 |
0 |
–7 |
0,14 |
0,04 |
0,12 |
5 |
0,06 |
0,12 |
0,09 |
|||
–5 |
0,11 |
0,19 |
0,08 |
8 |
0,13 |
0,12 |
0,11 |
|||
–3 |
0,13 |
0,09 |
0,10 |
11 |
0,07 |
0,18 |
0,12 |
15. |
X Y |
5 |
12 |
19 |
|
16. |
X Y |
2 |
3 |
4 |
1 |
0,16 |
0,05 |
0,04 |
–2 |
0,21 |
0,05 |
0,19 |
|||
2 |
0,12 |
0,13 |
0,08 |
1 |
0,13 |
0,04 |
0,06 |
|||
3 |
0,14 |
0,06 |
0,22 |
4 |
0,07 |
0,11 |
0,14 |
17. |
X Y |
1 |
3 |
5 |
|
18. |
X Y |
5 |
7 |
9 |
–4 |
0,17 |
0,03 |
0,10 |
1 |
0,15 |
0,09 |
0,06 |
|||
–2 |
0,13 |
0,15 |
0,12 |
4 |
0,16 |
0,13 |
0,11 |
|||
0 |
0,10 |
0,12 |
0,08 |
7 |
0,12 |
0,08 |
0,10 |
19. |
X Y |
–5 |
–3 |
–1 |
|
20. |
X Y |
–3 |
–1 |
1 |
1 |
0,02 |
0,17 |
0,11 |
–2 |
0,13 |
0,06 |
0,14 |
|||
4 |
0,09 |
0,13 |
0,10 |
–4 |
0,07 |
0,14 |
0,19 |
|||
7 |
0,18 |
0,11 |
0,09 |
–6 |
0,09 |
0,11 |
0,07 |
21. |
X Y |
–3 |
–1 |
1 |
|
22. |
X Y |
–8 |
–3 |
2 |
2 |
0,18 |
0,12 |
0,12 |
4 |
0,16 |
0,11 |
0,08 |
|||
4 |
0,08 |
0,02 |
0,19 |
7 |
0,04 |
0,13 |
0,12 |
|||
6 |
0,15 |
0,05 |
0,09 |
10 |
0,11 |
0,08 |
0,17 |
23. |
X Y |
5 |
10 |
15 |
|
24. |
X Y |
7 |
8 |
9 |
3 |
0,08 |
0,13 |
0,11 |
–3 |
0,12 |
0,13 |
0,18 |
|||
5 |
0,13 |
0,04 |
0,10 |
–1 |
0,13 |
0,07 |
0,09 |
|||
7 |
0,09 |
0,11 |
0,19 |
1 |
0,07 |
0,08 |
0,13 |
25. |
X Y |
10 |
13 |
16 |
|
26. |
X Y |
4 |
8 |
12 |
–5 |
0,12 |
0,11 |
0,17 |
6 |
0,12 |
0,09 |
0,14 |
|||
–1 |
0,07 |
0,08 |
0,13 |
10 |
0,09 |
0,11 |
0,12 |
|||
3 |
0,08 |
0,13 |
0,11 |
14 |
0,07 |
0,14 |
0,12 |
27. |
X Y |
3 |
8 |
13 |
|
28. |
X Y |
6 |
11 |
16 |
–7 |
0,13 |
0,06 |
0,08 |
–7 |
0,04 |
0,09 |
0,09 |
|||
–4 |
0,12 |
0,11 |
0,10 |
–5 |
0,12 |
0,08 |
0,20 |
|||
–1 |
0,05 |
0,18 |
0,17 |
–3 |
0,14 |
0,11 |
0,13 |
29. |
X Y |
–6 |
–3 |
0 |
|
30. |
X Y |
5 |
12 |
19 |
5 |
0,12 |
0,12 |
0,18 |
1 |
0,04 |
0,08 |
0,22 |
|||
6 |
0,09 |
0,11 |
0,12 |
2 |
0,16 |
0,12 |
0,14 |
|||
11 |
0,06 |
0,13 |
0,07 |
3 |
0,05 |
0,13 |
0,06 |