3.2 Задачи повышенного уровня

1. (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой – число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей,  а вторую с четвертой,так как  (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной: 

Получаем уравнение 

Ответ:  

2. 

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на  . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на  .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как  :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при   и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель  :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на  . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной: 

Получим уравнение: 

Ответ: 

3. 

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ: 

4. 

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным.

Чтобы его  решить,

1. Разделим обе части уравнения на   (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену: 

5. Выразим через t выражение  :

Отсюда 

Получим уравнение относительно t:

Ответ: 

5. Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С – числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на 

Или на 

Или на 

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Сократим дроби, получим:

Теперь мы вводим замену переменной:

И решаем квадратное уравнение относительно замены:

.

Решим уравнение:

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное (принцип «бритвы Оккама» - не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

Перенесем все влево, получим:

Теперь мы видим,  что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на  , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

Теперь самое время ввести замену переменной:

Получим квадратное уравнение:

Ответ: