2.1. Прямое преобразование Лапласа

Пусть имеется некоторая функция независимой переменной и комплексное число .

Преобразованной по Лапласу функцией называется функция независимой переменной . Она определяется соотношением:

, (2.1)

где  оригинал,  изображение (изображения обозначаются заглавными буквами).

Внимание. Для момента коммутации интеграл (2.1) теряет смысл.

Формулу (2.1) можно записать и так (нельзя путать знак соответствия « » со знаком равенства «=» !). Чтобы могла быть преобразована по Лапласу, она должна быть аналитической, голоморфной или регулярной в точке . Это означает, что должна быть дифференцируемой в окрестности точки и могла разлагаться в сходящийся степенной ряд. В этом случае интеграл (2.1) существует и имеет конечное значение.

В физических задачах, и в частности в электротехнических задачах, используются аналитические функции.

Несколько примеров

1). Пусть , , тогда

.

2). Пусть , тогда

.

3). Найдем изображение производной . Пусть ,

.

Итак, если , то . Таким образом, если , то операция дифференцирования оригинала соответствует умножению изображения на

4). Найдем теперь изображение интеграла .

Обозначим . Тогда

. (2.2)

Если то но . Согласно (2.2) Отсюда т.е. Таким образом, операция интегрирования сводится к делению изображения на .

Связь между напряжением и током на элементах цепи.

Элемент цепи	Для оригиналов	Для изображений	Примечание
Резистор
Катушка индуктивности			- оригинал тока при
Конденсатор			- оригинал напряжения при

2.2. Законы Кирхгофа в операторной форме

Уравнения электрической цепи, составленные для изображений, называются операторными уравнениями цепи. Для их составления применяются законы Кирхгофа в операторной форме.

I закон Кирхгофа

II закон Кирхгофа

При составлении уравнений Кирхгофа в операторной форме нужно соблюдать все правила знаков, которые были установлены при составлении уравнений Кирхгофа для оригиналов - фактических токов и напряжений.

Все операторные токи, отходящие от узла записываются со знаком «-», в противном случае со знаком «+». Задавшись направлениями токов, ЭДС и обхода контура, приписывают току, падению напряжения и ЭДС знак «», если их направления совпадают с направлением обхода, в противном случае – знак «-».

Пусть имеется цепь (рис. 2.1). Необходимо определить переходный ток.

 момент коммутации. При имеем

Перейдем к изображениям

, .

,

где  операторное сопротивление данной цепи.

Отсюда находим операторный ток:

. (2.3)

Выражение (2.3) это закон Ома, записанный для переходного процесса при ненулевых начальных условиях. Если имеются нулевые начальные условия, то закон Ома имеет вид

. (2.4)

Сопоставляя формулы (2.3) и (2.4) видим, что в случае ненулевых начальных условий операторный ток равен сумме операторного тока, обусловленного приложенным к цепи напряжением, и операторного тока, вызываемого добавочной ЭДС, определяемой ненулевыми начальными условиями.

Из рассмотренного примера видно, как записывается операторное изображение отдельных параметров цепи.

Операторное изображение активного сопротивления есть само активное сопротивление .

Операторное индуктивное сопротивление определяется следующим образом: .

Операторное емкостное сопротивление равно: .

Рассмотрим два предельных случая.

1). Для постоянного тока сопротивление рассматриваемой цепи равно , т.к. имеется конденсатор и ток равен нулю. Если , то , поэтому должно равняться . Это возможно, если . Таким образом, операторное сопротивление цепи в случае постоянного тока получается в предположении в формуле операторного сопротивления, составленной для общего случая.

2). Если по цепи протекает синусоидальный ток частоты и постоянной амплитуды, то сопротивление цепи равно . Следовательно, сопротивление цепи синусоидальному току можно получить, полагая в выражении для операторного сопротивления.

Рассмотрим более сложную цепь (рис. 2.2).

Перейдем к изображениям:

, , ,

З апишем уравнения цепи:

,

,

где операторные сопротивления ветвей равны:

, .

Операторный ток согласно I закону Кирхгоффа равен:

.

Величины, обратные операторным сопротивлениям, называются операторными проводимостями: .

Операторный ток в общей ветви равен:

.

При нулевых начальных условиях выражение упрощается:

.

Таким образом, преобразование Лапласа позволяет перейти от дифференциальных уравнений цепи к операторным уравнениями, которые записываются в алгебраической форме. Как видно в результате решения этих уравнений получаем лишь изображения исходных величин. Перед расчетчиком возникает вторая задача, как от изображений перейти к оригиналам. Это можно сделать, используя обратное преобразование Лапласа.