1.8. О расчете переходных процессов в сложных электрических цепях. Метод переменных состояния
С усложнением электрической цепи порядок дифференциальных уравнений цепи увеличивается. Возможность получения решения уравнений аналитическими методами исключается, приходиться применять приближенные решения. Наиболее эффективный путь - это расчет переходных процессов с помощью компьютеров. При этом обычно применяется метод конечных разностей. Идея этого метода весьма проста. Пусть имеем уравнение:
.
(1.33)
Уравнение (1.33)
называется уравнением
состояния,
оно определяет режим цепи. Под уравнением
(системой уравнений) состояния понимается
дифференциальное уравнение (система)
I
порядка, разрешенное относительно
первой производной.
называется переменной состояния (
может быть током или напряжением).
Введем разностную
сетку, разделив отрезок интегрирования
s
(например,
время переходного процесса, равное 4÷5
τ) уравнения на N
равных
частей. Расстояние между соседними
точками (
)
называется шагом сетки, а точки деления
называются узлами сетками.
Производную
можно представить конечной разностью:
где
и
- значения функции в точках
и
.
Обозначим
Таким образом, дифференциальное уравнение
можно заменить на разностное уравнение:
или
.
(1.34)
Уравнение (1.34) подсказывает следующую процедуру вычисления.
Начальные условия
переходного процесса известны. В данном
случае при
(
- момент коммутации)
.
Из (1.34) имеем при
Далее при
и т. д.
Допустим, что имеется сложная электрическая цепь и пусть для этой цепи составлены дифференциальные уравнения, описывающие переходный процесс. Эти уравнения нужно привести к нормальному виду (к уравнениям состояния):
Задавшись
шагом сетки
,
переходим к разностным уравнениям:
или
Последовательность расчета такая же, что и при одном уравнении состояния.
Начальные условия:
.
Сделаем первый шаг и при
имеем следующие формулы:
и т.д.
Рассмотренный метод решения переходных процессов с помощью уравнений состояния в электротехнической литературе носит название метода переменных состояния.
Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами операторным методом
Операторное исчисление - это метод интегрирования некоторых классов линейных дифференциальных уравнений. Этот метод непосредственно применим к обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, а также к некоторым типам линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода состоит в том, что сначала разыскивается не сама неизвестная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (эту функцию называют оригиналом), а соответствующая ей, преобразованная по Лапласу функция, которую называют изображением.
В результате записи уравнений цепи для изображений эти уравнения из дифференциальных превращаются в алгебраические.
После решения полученных алгебраических уравнений, по полученному изображению по определенным правилам находят соответствующий ему оригинал. Этот оригинал представляет собой решение дифференциального уравнения (реальный ток или реальное напряжение).
Математический аппарат операционного метода состоит из прямого и обратного преобразований Лапласа.