Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
Пусть t=0 есть момент коммутации.
Допустим, что
начальные условия - нулевые:
У
равнение
цепи после коммутации выглядит следующим
образом
.
Решение ищем в виде .
В данном случае
,
поэтому
.
Из (1.26) имеем
Решая эту систему,
находим постоянные:
.
Таким образом, ток равен:
.
(1.28)
Определим напряжение на конденсаторе:
так как
то
.
(1.29)
Ток
(1.28) выражается той же формулой, что и
при разряде конденсатора, но с
противоположным знаком, что характеризует
процесс заряда конденсатора. Напряжение
нарастает от 0 до U.
Характер переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения.
Если корни
вещественны
,
то имеем графики, показанные на рис.
1.18
Графики на рис.
1.19 характеризуют колебательный процесс
,
корни характеристического уравнения
- комплексные сопряженные числа.
1.7. Расчет переходных процессов в цепях с взаимной индукцией
При t=0 происходит включение цепи (рис. 1.20) на постоянное напряжение U. До включения токи в контурах были равны нулю, т.е.
,
и, следовательно, начальные условия -
нулевые.
После коммутации ( ) имеем
,
(1.30)
г
де
- самоиндуктивности,
коэффициент
взаимоиндукции.
Исключим ток
из (1.30). Для этого из второго уравнения
получим:
.
Подставим
в первое уравнение:
.
(1.31)
Продифференцируем это уравнение
.
Из первого уравнения системы (1.30) получим
.
Подставим это
выражение в (1.31), также введем коэффициент
магнитной связи
и получим уравнение
.
После
введения понятия «коэффициент рассеяния»
приходим к уравнению:
.
По традиции решение ищем в виде .
Установившийся
ток равен
.
Составим уравнение для свободного тока:
.
Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
.
Докажем, что корни:
представлены только вещественными
числами. Для этого необходимо доказать,
что подкоренное выражение положительное
число.
,
ч. т. д.
Ток в переходном режиме ищем в виде:
.
Для момента коммутации имеем следующие выражения:
(1.32)
Из уравнения (1.31), записанного для , найдем
.
Из уравнений (1.32)
находим
,
отсюда находим постоянные:
Окончательное выражение для переходного тока в первичном контуре выглядит следующим образом:
.
Переходный ток во вторичном контуре ищем в виде:
.
Для момента коммутации ( ) запишем
Находим постоянные
интегрирования
и
:
Запишем выражение переходного тока во вторичном контуре:
.
Х
арактер
переходного процесса иллюстрируют
графики на рис. 1.21.
Рассмотрим предельные случаи.
А). Вторичный
контур разомкнут
.
В этом случае цепь описывается уравнениями:
,
.
Б). Вторичный
контур не имеет потерь
В этом случае цепь описывается уравнениями:
.
Отсюда получаем:
или
.
Изменение переходного тока в случаях А) и Б) показано на рис. 1.22.
Можно заметить, что коэффициент рассеяния тем меньше, чем сильнее магнитная связь контуров. Из рис. 1.22 видно, что наличие короткозамкнутого вторичного контура уменьшает постоянную времени, и состояние установившегося режима достигается быстрее.