3.2. Частотные характеристики

Функция , представляемая прямым преобразованием Фурье, называется спектральной или частотной характеристикой функции . иногда называют спектральной плотностью функцией .

Частотную характеристику можно записать так . Величина характеризует зависимость амплитуды от частоты, она называется амплитудно-частотной характеристикой. Величина , дающая связь начальной фазы с частотой, называется фазо-частотной характеристикой.

Частотная характеристика может быть представлена следующим образом , где называется вещественной частотной характеристикой, а  мнимой частотной характеристикой.

Вычислим частотные характеристики для некоторых случаев.

1). Пусть при к некоторой цепи прикладывается напряжение, изменяющееся по закону . Требуется найти частотную характеристику этого напряжения. В данном случае имеется одностороннее прямое преобразование Фурье:

,

поэтому можно использовать операторное преобразование по Лапласу:

.

Следовательно , (3.5)

т.е. , .

Характеристики показаны на рис. 3.1, рис. 3.2.

Частотная характеристика равна:

.

З ависимости вещественной части и коэффициента мнимой части от частоты даны на рис. 3.3.

2). Пусть цепь при запитывается напряжением . Необходимо найти частотные характеристики.

Используем преобразование Лапласа

. (3.6)

Частотная характеристика равна

, , .

Зависимости , показаны на рис. 3.4, рис. 3.5.

М ожно заменить, что функция имеет разрывы при .

Рассмотрим частотные характеристики для функций и , имеющие важное значение в теории электрических цепей. Непосредственное применение прямого преобразования Фурье в этих случаях невозможно, т.к. интеграл не имеет конечного значения.

М ожно использовать следующий прием: умножим на , где . В результате получим частотные характеристики функций и . Полагая в них , определим искомые характеристики.

И з выражения (3.5) для имеем следующую частотную характеристику:

.

Для из уравнения (3.6) получим

.

Разложение непериодической ЭДС в непрерывный спектр синусоидальных составляющих находит широкое применение в импульсных технике, в радиотехнике. Располагая таким спектром и зная зависимость параметров цепи от частоты, можно определить характер действия такой ЭДС на рассматриваемую цепь.

3.3. Расчет переходных процессов частотным методом

Как указывалось, одностороннее преобразование Фурье следует из прямого преобразования Лапласа при . Следовательно, расчет переходных процессов методом Фурье (частотным методом), когда возможно одностороннее преобразование Фурье, формально не отличается от операторного метода.

Пусть оригиналу соответствует частотная характеристика , т.е. .

Тогда

.

.

Если имеется дифференциальное уравнение цепи, например, вида:

,

т о, переходя к частотным характеристикам для тока и напряжения: и , получим

.

Отсюда имеем

, где  частотная характеристика комплексного сопротивления.

Чтобы перейти от к оригиналу нужно выполнить обратное преобразование Фурье:

.

Однако в тех случаях, когда частотная характеристика представляет собой рациональную дробь, т.е. , где и  полиномы относительно и имеет только простые корни (  число корней), то

,

т.о. имеем аналог теоремы разложения.

Преимущество частотного метода по сравнению с классическим и операторным методами проявляется в случае сложных цепей. Пусть имеем сложную цепь, представимую в виде пассивного двухполюсника (рис. 3.6), который при включается на напряжение .

Пусть - абсолютно интегрируемая функция в пределах , т.е. существует, так что прямое преобразование Фурье возможно. Найдем частотную характеристику напряжения:

.

Допустим, что экспериментально найдена частотная характеристика комплексного сопротивления двухполюсника . Эта характеристика снимается от до , при которой становится малой. Тогда частотная характеристика тока будет равна:

,

где , .

Зная частотную характеристику можно найти оригинал обратным преобразованием Фурье. Т.к. в данном случае при величина мала, то

.

Этот интеграл можно «взять» приближенно, например методом Симпсона.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. ТОЭ. - Л.: Энергоиздат, 1981. - Т. 1,2.

2. Теоретические основы электротехники. Под ред. П.А. Ионкина. Т. 1,2. - М.: ВШ., 1976.

3. Теоретические основы электротехники. Под ред. Г.И. Атабекова. Т. 1,2 - М.: Энергия, 1979.

4. Сборник задач и упражнений по ТОЭ. Под ред. П.А. Ионкина. - М.: Энергоиздат, 1982. - 766с.

5. Пашенцев И.Д. Методические пособия по решению задач курса ТОЭ. - Л.: ЛИИЖТ, 1981. - Ч. I-VI.

6. Бессонов Л.А. Сборник задач по ТОЭ. - М.: ВШ, 1988.

7. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: ВШ, 1978. - Т.1,2.

8. Новгородцев А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей. - СПб.: Политехника, 1995. - 519с.

9. Шимони К. Теоретическая электротехника. - М.: МИР, 1964. - .773с.

10. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. - М.: Энергоиздат, 1989. - 333с.

11. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986. - 554с.

12. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. - М.: Энергия, 1975. - Т.3. - 352с.

13. Ким К.К. Самоучитель по теории линейных электрических цепей- СПб.: ПГУПС, 2005. - Ч. 1, 2, 3.

14. Литература информационно-методического обеспечения учебного процесса, разработанная кафедрой ТОЭ.

Дополнительная

1. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. - М.: ВШ, 1990

2. Практикум по ТОЭ. Под ред. Шакирова М.А. - СПб.: СПбГТУ, 1995. - Ч. 1, 2, 3.

3. Шебес М.Р. Задачник про теории линейных электрических цепей. - М.:ВШ, 1973. - 655с.

4. Демирчян К.С., Бутырин П.Л. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. - М.: ВШ, 1988.

5. Кухаркин Е.С. Основы технической электродинамики. - М.: ВШ, 1969 - Ч. 1, 2.

Рекомендуется использование пакетов программ Pspice, Workbench, Matlab, Mathcad, Elcat.

60