2 .2. Расчет сложных цепей методом уравнений Кирхгофа.
Электрические цепи, схема которых не является простым сочетанием последовательного и параллельного соединений участков цепи, называются сложными цепями.
а).
Матричная форма закона Ома. Каждая ветвь
цепи может содержать сопротивление
,
идеальный источник ЭДС
и идеальный источник тока
,
(рис. 2.5). Иногда источники тока не
изображают, а показывают только токи
источников в соответствующих узлах
(рис. 2.6).
Ток в сопротивлении
,
(2.1),
где
-
ток в
-ой
ветви.
Для
указанных положительных направлений
падение напряжения
уменьшает, а ЭДС
увеличивает потенциал в точке
:
,
т.
к.
,
то
или
(2.2)
отсюда
(2.3)
Формулы (2.2) и (2.3) представляют выражение закона Ома для узла цепи с источниками ЭДС и тока.
Если
ветвь содержит ряд последовательно
соединенных сопротивлений, источников
ЭДС и параллельно соединенных источников
тока, то в (2.2) и (2.3) вместо
следует понимать суммарное сопротивление,
а вместо
и
- алгебраическую сумму ЭДС и токов
источников. При этом с положительным
знаком записывают ЭДС и токи источников,
ориентированные относительно
,
так как показано на рис. 2.5 (положительные
направления
,
и
принимают совпадающими и, как правило,
указывают одной стрелкой на соответствующей
ветви графа).
Если схема цепи содержит ветвей, то полагая в (2.1) получим -уравнений, которые можно записать в матричной форме
или
,
(2.4)
где
-
диагональная матрица сопротивлений
ветвей, элемент, находящийся на пересечении
-ой
строки и
-ого
столбца, равен сопротивлению
-ой
ветви.
Аналогично из (2.3) имеем
,
(2.5)
где
-
диагональная матрица проводимостей
ветвей. Т.к.
,
то матрицы
и
-
взаимно обратны, т.е.
,
.
Формулы (2.4) и (2.5) представляют выражение закона Ома в матричной форме.
П
ример.
Используя закон Ома, определить токи
на всех участках цепи (рис.2.7). Рассматриваем
схему как параллельное соединение двух
ветвей, присоединенных к двум узлам (1)
и (2). Одна ветвь содержит элементы
,
и
,
другая
,
и
.
Для первой ветви имеем
.
Для второй ветви
.
Т.к.
,
,
то
.
Отсюда
,
.
б). Система уравнений Кирхгофа.
Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для узлов, имеют вид
,
(2.6)
где
-
матрица соединений порядка
,
,
-
матрица-столбец токов ветвей (имеет
элементов).
Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для сечений
,
(2.7)
где
- матрица сечений порядка
,
.
Матрицы
и
составляются для ориентированного
графа схемы. Каждому из уравнений (2.6)
или (2.7) соответствует
независимых алгебраических уравнений.
Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа,
,
(2.8)
-
матрица контуров порядка
,
- матрица-столбец напряжений ветвей
(имеет
элементов). Уравнению (2.8) соответствуют
уравнений, которые являются независимыми.
Уравнения (2.6) или (2.7), (2.8) вместе с (2.4) или (2.5) позволяют определить токи во всех ветвях цепи. Однако целесообразно видоизменять уравнения Кирхгофа. В соответствии с (2.1) запишем
,
где
-
матрица-столбец (его элемент в
-ой
строке
).
Тогда из (2.6) следует
.
(2.9)
Произведение
дает матрицу-столбец, элемент
-ой
строки этой матрицы равен сумме токов
в сопротивлениях ветвей, присоединенных
к узлу
;
при этом с положительным знаком записывают
токи, направленные от узла. Произведение
дает матрицу-столбец, элемент
-ой
строки этой матрицы равен сумме токов
источников тока ветвей, присоединенных
к узлу
;
при этом с положительным знаком записывают
токи, направленные к узлу.
Таким образом, (2.9) представляет матричную запись первого закона Кирхгофа. (2.9) соответствуют уравнений (независимых).
Аналогично можно записать и (2.7)
(2.10)
Умножим обе части (2.4) на матрицу и учтем (2.8), тогда
или
.
(2.11)
П
роизведение
дает матрицу столбец. Элемент
-ой
строки равен сумме напряжений на
сопротивлениях
ветвей, из которых состоит контур
.
Произведение
дает матрицу-столбец,
-ый
элемент которой равен алгебраической
сумме ЭДС
-ого
контура. Таким образом, (2.11) представляет
матричную запись второго закона Кирхгофа.
(2.11) соответствуют
уравнений (которые являются независимыми).
Элементы матрицы
записывают с положительным знаком, если
ориентация их тока, как на рис. 2.5.
Расчет
цепи с помощью уравнений Кирхгофа
сводится к совместному решению уравнений
(2.9) и (2.11) или (2.10) и (2.11). Как правило,
искомыми являются токи в сопротивлениях
,
при известных
,
,
.
В схеме цепи могут быть ветви, содержащие только идеальные источники тока или ЭДС. Если уравнения по законам Кирхгофа записываются непосредственно по схеме без применения равенства (2.11), то наличие ветвей с идеальными источниками не вносит никаких изменений.
Если
при составлении уравнений по второму
закону Кирхгофа применить матричное
равенство (2.11), то ветвям, содержащим
только идеальные источники тока,
соответствуют диагональные элементы
матрицы
.
В этом случае схему необходимо
преобразовать. Ветвь с источником тока
включена между узлами
и
(рис. 2.8). Преобразуем ее к схеме,
изображенной на рис. 2.9. Уравнение (2.11)
составляют для схемы на рис. 2.9. Следует
заметить, что такое преобразование
уменьшает число ветвей и контуров схемы.