2.5. Баланс мощностей.

Пусть в электрической цепи произвольной конфигурации имеются источники и приемники электрической энергии. В такой цепи, рассматриваемой как замкнутая система, сумма мощностей всех ветвей равна нулю,

. (2.23)

Докажем (2.23). Можем записать

. (2.24)

Т.к.

, то и (2.24) получит вид

, т. к. - первый закон Кирхгофа.

Соотношение (2.23) определятся топологией схемы и не зависит от параметров элементов ветвей.

Рассмотрим произвольную цепь с источниками постоянной ЭДС и постоянного тока. Соотношение (2.23) можно представить в виде равенства суммы мощностей источников сумме потребляемых мощностей в активных сопротивлениях.

Т. к. , то , отсюда

. (2.25)

Если подставить (2.14) в (2.25) получим

, (2.26)

поскольку (т.к. - диагональная матрица)

Подставим (2.26) в (2.25)

. (2.27)

Величина

дает суммарную мощность, рассеиваемую в резисторах. Эта мощность положительна.

Величина

дает мощность, генерируемую источниками ЭДС

Величина

выражает мощность, генерируемую источниками тока.

Таким образом, (2.23) получает вид

. (2.28)

Т.е. доказано, что сумма мощностей, генерируемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей, потребляемых в цепи.

2.5. Принцип наложения.

Ток в любой ветви линейной цепи равен сумме токов, обусловленных каждым источником, действующим в этой цепи, в отдельности. Т.е. токи ветвей линейной цепи удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции).

Контурные уравнения имеют вид

, (2.29)

где

. (2.30)

Токи в ветвях и контурные токи связаны соотношением

.

Подставим сюда ток , полученный из (2.29)

.

Внесем (2.30) в полученное выражение

. (2.31)

Обозначим

,

,

здесь - матрица входных и взаимных проводимостей, - матрица коэффициентов передачи тока.

В линейных цепях реакции пропорциональны возмущениям. Поэтому удобно рассматривать реакцию, отнесенную к возмущению, если возмущение постоянная величина. Отношение реакции к возмущению, , называется в общем случае передаточной функцией, может иметь различную размерность. Если и представляют напряжения (токи), то называется коэффициентом передачи напряжения (тока). Если - напряжение (ток), а - ток (напряжение), то отношение называется передаточным или взаимным сопротивлением (проводимостью). В частном случае, когда и напряжение и ток одной ветви, отношение называется входным сопротивлением (проводимостью). Теперь (2.31) записывается следующим образом

. (2.32)

Матрицы и имеют порядок , поэтому (2.32) эквивалентно алгебраическим выражениям для токов ветвей

, . (2.33)

Это соотношение показывает, что ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, обусловленных каждым источником в отдельности.

Элементы равны

,

если в цепи действует только один источник ЭДС , а остальные источники исключены, т.е. источники ЭДС замкнуты, источники тока разомкнуты. При проводимость называется входной проводимостью ветви . При проводимость называется взаимной проводимостью ветвей и . Причем, , т. е. матрица симметрична.

Безразмерные элементы , называются коэффициентами передачи тока. Причем

,

если в цепи действует только один источник тока , а все остальные источники исключены.

Принцип наложения справедлив и для токов в сопротивлениях .

, (2.34)

где - одинарная матрица. Таким образом, для токов в сопротивлениях можно использовать соотношение вида (2.33).

Можно убедиться в применимости принципа наложения для напряжений ветвей и падений напряжений на сопротивлениях .

, из (2.15) и (2.16) имеем

.

Следовательно

. (2.35)

Обозначим

,

,

здесь - матрица входных и взаимных сопротивлений, размерности ; - матрица коэффициентов передачи напряжения порядка . Соотношение (2.35) получает вид

. (2.36)

(2.36) эквивалентно алгебраическим выражениям

, ,

т. е. напряжение любой ветви равно сумме составляющих, обусловленных каждым источником по отдельности.

Элементы имеют размерность сопротивления, причем,

,

если в цепи действует только один источник тока , а все другие источники исключены. При сопротивление называется входным сопротивлением ветви . При сопротивление называется взаимным сопротивлен ием ветвей и , причем .

Далее , если в цепи действует один источник ЭДС , а все остальные исключены.

П ринцип наложения применим также для контурных токов и узловых потенциалов. Этот принцип обусловлен линейностью уравнений, описывающих цепь, и справедлив для любых величин, связанных линейной зависимостью. Следовательно, им нельзя пользоваться для расчета мощностей, т. к. мощности являются нелинейными функциями тока или напряжения.

Пример.

Вычислить входные и взаимные проводимости и сопротивления, коэффициенты передачи тока и напряжения для цепи рис. 2.19.

Для схемы (рис.2. 20) имеем

; ; ; .

Т . к. ; ; ;

; ; ; ; ; .

В схеме (рис. 2.21) имеем

; ; ; ; ; . В соответствие с формулой имеем

; ; ; ;

; ; ; ; .