5.2. Взаимная индуктивность при последовательном соединении

Рассмотрим цепь из двух катушек, соединенных последовательно, и, кроме того, связанных между собой индуктивно (рис. 5.6). Пусть собственная индуктивность и активное сопротивление катушек соответственно равны: для первой - и , для в торой - и . Взаимная индуктивность задана. Рассчитаем эту цепь. Для расчета цепей, содержащих индуктивно связанные ветви, непосредственно применимы все изложенные методы, за исключением метода узловых напряжений и метода преобразования треугольника в звезду и обратно.

С оставим уравнение по второму закону Кирхгофа. Направление обхода выберем по часовой стрелке, так что оно совпадает с направлением тока . В первой катушке индуктируется ЭДС самоиндукции и взаимной индукции , во второй катушке и .

Все эти ЭДС направлены по часовой стрелке, поэтому

,

,

– эквивалентная индуктивность всей цепи. , так как . Величина зависит от значения взаимной индуктивности. При согласном включении катушек потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены в одну и ту же сторону и , так что

.

При встречном включении (рис. 5.7) указанные потоки направлены в противоположные стороны, поэтому , отсюда

.

Если на рис. 5.6 (то есть катушки включены согласно), то для встречного включения нужно пересоединить концы одной из катушек. Определив экспериментально и можно вычислить .

.

Векторные диаграммы для схем на рис. 5.6, 5.7 приведены на рис. 5.8, 5.9.

5.3. Взаимная индуктивность при параллельном включении

П рименим закон Кирхгофа к схеме цепи, показанной на рис. 5.10. Катушки маркированы. Зададимся направлением токов в ветвях и направлением обхода в контурах.

.

Если , токи равны

, , .

Напряжение равно

, ,

т ак как , то

, где .

Эквивалентная индуктивность , так как . Но она зависит от того, как включены катушки согласно (рис. 5.10) или встречно (рис. 5.11). Допустим, что при указанной маркировке имеем согласное включение, так что , при встречном включении . Поэтому

.

В ерхний знак соответствует согласному включению, нижний – встречному.

Векторные диаграммы для схем на рис. 5.10 и рис. 5.11 приведены на рис. 5.12 и рис. 5.13.

5.4. Расчет сложных индуктивно-связанных цепей.

Применимы все методы, за исключением метода узловых напряжений и преобразований звезда в треугольник и обратно. Напряжение (ЭДС) взаимной индукции считается направленным от *, если ток также направлен от *. Если ток направлен к *, то и напряжение взаимной индукции направлено к *. Направление ЭДС и напряжения самоиндукции совпадает с направлением тока.

Р ассмотрим цепь (рис. 5.14), где параметры известны.

Далее предполагается, что катушки 3, 4, 5 индуктивно связанны, причем в соответствии с указанной маркировкой заданы взаимные индуктивности между катушками как по величине так и по знаку. Маркировка указывает, что ток, ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции, а также соответствующие им напряжения направлены от * к другому зажиму катушки. Составим уравнения цепи по методу уравнений Кирхгофа и по методу контурных токов.

а) Метод уравнений Кирхгофа.

Зададим условные положительные направления токов в ветвях. Этих токов шесть. Следовательно, для их определения необходимы шесть уравнений. В схеме (рис. 5.14) три независимых узла (q-1) и три независимых контура (p-q+1), в результате получаем p уравнений.

По первому закону Кирхгофа имеем

.

Применим теперь второй закон Кирхгофа.

Для этого выберем независимые контуры и зададим направления обхода каждого контура. При составлении уравнения член, положительное направление которого совпадает с направлением обхода, берем со знаком +, в противном случае со знаком -.

Для контура 1

.

Для контура 2

.

Для контура 3

.

Решая полученные шесть уравнений, можно вычислить токи во всех ветвях.

б) Метод контурных токов.

В этом методе отыскиваются контурные токи, то есть токи, замыкающиеся в независимых контурах. Выбираем независимые контуры (их p-q+ 1). Задаем произвольно направление обходов контуров и считаем, что они совпадают с положительными направлениями контурных токов. Обозначим через сумму ЭДС контура k. ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода берем со знаком +, в противном случае со знаком -. Обозначим через – сумму сопротивлений контура k и назовем его собственным сопротивлением контура. Суммы сопротивлений в общей ветви для контуров k и m обозначим через и назовем их общими сопротивлениями контуров k и m.

По методу контурных токов уравнения индуктивно-связанных цепей записываются в форме, обычной для случая отсутствия взаимной индукции. Взаимная индукция учитывается в выражениях для собственных и общих сопротивлений контуров.

В расcматриваемой схеме в качестве независимых контуров возьмем 1, 2 и 3 с указанными направлениями обхода. В общем виде уравнения для этих контуров записываются так:

,

,

.

Контурные токи снабжены двойными индексами, чтобы не путать их с токами в ветвях.

Найдем собственные сопротивления контуров.

, ,

.

В выражении для входит слагаемое . Контурный ток , проходит по катушке 4 от * и индуктирует ЭДС взаимоиндукции в катушке 5, также направленную от *, то есть против направления обхода (по этому ЭДС равна ). Тот же ток, пройдя по катушке к *, индуцирует ЭДС в катушке 4, направленную к ее *, то есть опять против направления обхода (по этому эта ЭДС равна ). Взаимная индуктивность между катушками 4 и 5 учитывается слагаемым .

Рассмотрим слагаемое . Ток , проходя по катушке 3 от *, индуцирует в катушке 5 ЭДС, также направленную от *, то есть против направления обхода, поэтому эта ЭДС имеет знак -. Тот же ток проходит в катушке 5 к ее *, по этому индуцируемая им ЭДС в катушке 3 также будет направлена к ее *, то есть против направления обхода. Следовательно, эта ЭДС будет со знаком -. Ток в катушках 3 и 4 проходит от их звездочек, поэтому соответствующая ЭДС взаимоиндукции имеет знак + и эта ЭДС учитывается слагаемым . По этой причине ЭДС самоиндукции в этих катушках имеет знак +. В катушке 5 если бы ток был направлен от *, то ЭДС самоиндукции была бы направлена от *, по контору ток направлен к *, поэтому ЭДС самоиндукции будет направлена к *, т.е. по обходу контура.

Найдем общие сопротивления контуров.

.

Первое слагаемое записано со знаком + т.к. токи в катушках 4 и 5 направлены от звездочек.

.

В первом слагаемом знак – , т.к. направлен к *. Во втором и третьем слагаемых +, т.к. направлен от *, следовательно, в катушке 5 ЭДС также направлена от * , т.е. совпадает с направлением обхода контура 2.

.

Для ЭДС: .

Решения системы контурных токов выглядит следующим образом

,

- алгебраические дополнения, полученные из детерминанта путем исключения k-ой строки и m-ого столбца и умножением его на . После того как вычислены контурные токи, находят токи в ветвях по первому закону Кирхгофа.

П ример

Дано: необходимо рассчитать схему, показанную на рис. 5.15.

Определить токи во всех ветвях и построить векторную и топографическую диаграмму, приняв потенциал точки 0 равным 0.

Применим метод уравнений Кирхгофа. Задаем произвольно положительное направление токов в ветвях и направления обхода контуров.

,

В о втором слагаемом знак - , т.к. ток направлен к * в контуре 2.

Решая эти уравнения находим:

Для построения векторной диаграммы найдем падение напряжения на каждом участке цепи.