7.2. Общая теория мостовых схем

На рис. 7.1 представлена схема одинарного моста переменного тока. Плечи моста а – б, б – в, а – г и г – в содержат в общем случае комплексные сопротивления Z₁ – Z₄. В диагональ а – в включен источник питания, в диагональ б – г, называемую выходной, – нагрузка (например, нуль-индикатор) с сопротивлением Z₀.

Мост находится в равновесии, если ток İ₀ = 0 ( или = 0). В соответствии с этим по второму закону Кирхгофа

İ₁Z₁ = İ₃Z₃ , İ₂Z₂ = İ₄Z₄ , (7.1)

а по первому закону Кирхгофа

İ₁ = İ₂ , İ₃ = İ₄ . (7.2)

Решая уравнения (7.1) с учетом соотношений (7.2), получим условие равновесия моста

Z₁Z₄ = Z₂Z₄ . (7.3)

В алгебраической форме выражения для полных комплексных сопротивлений плеч моста имеют вид:

(7.4)

Подставляя выражения (7.4) в (7.3), получим два равенства для вещественных и мнимых частей комплексных чисел:

;

.

Наличие двух уравнений равновесия означает необходимость регулирования не менее двух параметров моста переменного тока для достижения равновесия. С этой точки зрения для мостов переменного тока важным является понятие сходимости моста. Под сходимостью моста понимают возможность достижения состояния равновесия определенным числом поочередных переходов от регулировки одного параметра к регулировке другого.

Условие равновесия моста можно выразить еще одним способом, записав комплексные сопротивления плеч в показательной форме:

, (7.5)

где z₁, z₂, z₃, z₄ – модули полных сопротивлений плеч; φ₁, φ₂, φ₃, φ₄ – углы сдвига фаз тока относительно напряжения в соответствующих плечах. Подставляя (7.5) в (7.3), получим

,

откуда

z₁z₄ = z₂z₃ ,

φ₁ + φ₄ = φ₂ + φ₃ . (7.6)

Условие (7.6) указывает, при каком характере плеч можно уравновесить схему. Например, если смежные плечи, третье и четвертое, имеют чисто активные сопротивления R₃ и R₄, т. е. φ₃ = φ₄ = 0, то оба других плеча должны иметь либо индуктивный, либо емкостной характер. Если противоположные плечи чисто активные (φ₁ = φ₄ = 0), то одно из двух других плеч должно быть индуктивным (например, φ₂ > 0) , а другое – емкостным (φ₃ < 0).

Мосты, в которых измеряемую величину определяют из условия равновесия (7.3), называют уравновешенными. Если измеряемую величину определяют по значению тока или напряжения выходной диагонали моста, то такие мосты называют неуравновешенными.

Важной характеристикой моста является его чувствительность. Приближенно чувствительность моста определяют как отношение конечного приращения выходной сигнала к приращению измеряемой величины вблизи точки равновесия:

≈ . (7.7)

Выходной величиной моста может быть ток, напряжение или мощность. Измеряемая величина – сопротивление, индуктивность и др.

При наличии нуль-индикатора чувствительность моста равна произведению чувствительностей мостовой схемы и нуль-индикатора.

В мостах переменного тока обычно используются электронные нуль-индикаторы, имеющие большое входное сопротивление, так что практически его можно считать равным бесконечности. Поэтому для мостов переменного тока, как правило, определяют относительную чувствительность по напряжению

. (7.8)

Напряжение между точками б и г можно определить по формуле

.

Если в уравновешенном мосте какое-либо плечо, например Z₁, получит малое приращение ΔZ₁, то, пренебрегая этим приращением в знаменателе, получим

. (7.9)

Разделим в формуле (7.9) числитель и знаменатель на Z₁Z₄, подставим значение в выражение (7.8) и, обозначив и принимая во внимание условие равновесия моста (Z₁Z₄ = Z₂Z₄), получим

.

Если комплекс представить в тригонометрической форме

,

то

.

При условии, что m = 1 и θ = π, правая часть этого выражения обращается в бесконечность и, следовательно, чувствительность моста при этих условиях теоретически стремиться к бесконечности. Указанное условие означает, что мост должен быть симметричным (Z₁ = Z₂ и Z₃ = Z₄), а плечи моста должны попеременно иметь индуктивный и емкостной характер. Однако из-за наличия потерь точно выполнить условие практически невозможно.

Для мостов постоянного тока, у которых в качестве нуль-индикатора, как правило, используются магнитоэлектрические гальванометры с малым входным сопротивлением, на основании выражения (7.7) можно записать выражения для чувствительностей моста по току, напряжению и мощности

; ; ,

где ΔI, ΔU и ΔР – приращения тока, напряжения и мощности в диагонали моста при изменении сопротивления плеча на ΔR₁.

Если в качестве нуль-индикатора применяется магнитоэлектрический гальванометр, говорят о комплектной чувствительности моста

S_м.к = S_мI S_I = ,

где Δl – отклонение указателя гальванометра.

На практике чаще применяют относительную комплектную чувствительность моста постоянного тока

.