Предел на бесконечности по Коши
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для произвольного положительного числа
отыщется
отвечающее ему положительное число
такое,
что для всех точек, превышающих
по
абсолютному
значению, справедливо неравенство
.
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих правее , справедливо неравенство .
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих левее
,
справедливо неравенство
.
Окрестностное определение по Коши
Пусть функция определена на множестве , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки .
Обозначения
Если в точке у функции существует предел, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к , и пишут одним из следующих способов:
,
или
.
Если у функции существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
,
или
.
Если у функции существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
,
или
.
Если у функции существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:
,
или
.
Свойства пределов числовых функций
Пусть даны функции
и
.
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
Доказательство
Доказательство
методом от противного. Пусть существует
и
и
.
Предположим A1
< A2.
Возьмём
,
такое что A1
+ ε < A2
− ε, т.е.
.
,
т.е.
A1
− ε
< f(x)
< A1
+ ε.
,
т.е.
A2
− ε
< f(x)
< A2
+ ε.
Тогда получаем
Противоречие.
Значит предел единственный. 
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
где
—
проколотая окрестность точки a.
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
Правило двух милиционеров
Предел суммы равен сумме пределов:
Предел разности равен разности пределов:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел частного равен частному пределов.
