Примеры использования

• e^x = 1 + x + x²/2 + O(x³) при x → 0.

• n! = O((n/e)^n+1/2) при n → ∞.

• T(n) = (n + 1)² = O(n²) при n → ∞.

Доказательство:

Если положить n₀ = 1 и c = 4, то для n≥1 будет выполняться неравенство (n + 1)² < 4n². Отметим, что нельзя положить n₀ = 0, так как T(0) = 1 и, следовательно, это значение при любой константе c больше c0² = 0.

• Функция T(n) = 3n³ + 2n² при n → ∞ имеет степень роста O(n³). Чтобы это показать, надо положить n₀ = 0 и c = 5. Можно, конечно, сказать, что T(n) имеет порядок O(n⁴), но это более слабое утверждение, чем то, что T(n) имеет порядок роста O(n³).

• Докажем, что функция 3ⁿ при n → ∞ не может иметь порядок O(2ⁿ). Предположим, что существуют константы c и n₀ такие, что для всех n ≥ n₀ выполняется неравенство 3ⁿ ≤ c2ⁿ. Тогда c ≥ (3/2)ⁿ для всех n ≥ n₀. Но (3/2)ⁿ принимает любое, как угодно большое, значение при достаточно большом n, поэтому не существует такой константы c, которая могла бы мажорировать (3/2)ⁿ для всех n больших некоторого n₀.

• T(n) = n³ + 2n² есть Ω(n³) при n → ∞. Для проверки достаточно положить c = 1. Тогда T(n) > cn³ для n = 0,1,....

История

Обозначение «„O“ большое» введено немецким математиком Паулем Бахманом (англ.) во втором томе его книги «Analytische Zahlentheorie» (Аналитическая теория чисел), вышедшем в 1894 году. Обозначение «„о“ малое» впервые использовано другим немецким математиком, Эдмундом Ландау в 1909 году; с работами последнего связана и популяризация обоих обозначений, в связи с чем их также называют символами Ландау. Обозначение пошло от немецкого слова «Ordnung» (порядок).

Непрерывная функция

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции может быть начерчен «не отрывая карандаш от бумаги».

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.

Содержание 1 Определения 1.1 ε-δ определение 1.1.1 Комментарии 2 Связанные определения 2.1 Точки разрыва 3 Свойства 3.1 Локальные 3.2 Глобальные 4 Примеры 4.1 Элементарные функции 4.2 Функция с устранимым разрывом 4.3 Функция знака 4.4 Ступенчатая функция 4.5 Функция Дирихле 4.6 Функция Римана 5 Вариации и обобщения 5.1 Равномерная непрерывность 5.2 Полунепрерывность 5.3 Односторонняя непрерывность 5.4 Непрерывность почти всюду