Сандық интегралдау

[a,b] кесіндісінде f үзіліссізді функцияның

анықталған интегралды табу керек болсын. Сандық интегралдау есептерін шешу үшін бірнеше әдістер бар: тікбұрыш формуласы немесе трапеция формуласы көмегімен есептеу, Симпсон формуласы немесе Гаусс квадратуралық формуласы көмегімен және күрделенген квадратуралық формуларды пайдаланып есептеу.

Трапецияның күрделенген квадратуралық формуласының түрі келесідей:

,

мұнда h-өзгерту қадамы, N-[a,b] интервалындағы нүктелердің саны, -i-ші нүктедегі функцияның мәні.

MATLAB пакетінің төменде келтірілген функциялар трапеция әдісі және жинақтауы бар трапецияларәдіспен сандық интегралдауды орындайды.

• trapz(Y) – нүктелер арасында бір қадаммен трапеция тәсілін қолдану арқылы белгілі интегралды қайтарады. Егер Y векторы болса, онда trapz(Y) Y векторының элементтерінің интегралын қайтарады, егер Y матрица болса, онда trapz(Y) осы матрицаның әрбір бағанының интегралынан тұратын вектор жолын қайтарады;

• trapz(X,Y) – трапеция әдісін қолданып, X айнымалысынан Y функциясына дейінгі интегралды қайтарады. (бұл жерде интегралдаудың шегі X вектордың бастапқы және соңғы элементтерімен беріледі);

• trapz(...,dim) – dim айнымалысының мәніне байланысты енгізілген матрицаның жолдар және бағандар бойынша интегралды қайтарады;

• cumtrapz(Y) – интегралдау қадамы 1-ге тең Y матрица немесе вектор ішіндегі ординаттарымен берілген функция үшін белгілі бр интегралдың сандық мәнін қайтарады. Егер қадам 1-ге ұқсас болмаса, бірақ ол тұрақты болса, онда шығарылған интегралды қадам көлеміне көбейту керек. Векторлар үшін бұл функция Y векторының жиналған элементтерінің интегралдау нәтижесінен тұратын векторды қайтарады. Атрица үшін бұл функция Y матрицасының әрбір бағаны үшін жинақталған интегралдаудың нәтижесінен тұратын Y өлшемді матрицаны қайтарады;

cumtrapz(X, Y) – трапеция әдісін қолдану арқылы X айнымалысынан Y-ке дейін жинақталған интегралды іске асырады. X және Y бірдей ұзындықтағы векторлар болуы керек немесе X - вектор-баған, ал Y-матрица болу керек;

• cumtrapz(...,dim) – dim скалярымен анықталған элементтерді өлшемдері бойынша жинақтақтау интегралдауын іске асырады. X векторының ұзындығы size-қа тең.

Қарапайым дифференциалды теңдеулер жүйесін шешу

Физика, механика, басқару теориясында ғылымның және басқа да салаларындағы процестерді сипаттағанда және оларды математикалық модельдегенде көптеген есептер дифференциалды теңдеулерге келтіріледі. Сондықтан дифференциалды теңдеулердің шешуі маңызды математикалық есептердің біреуі болып табылады. Қарапайым дифференциалды теңдеулер y=y(x) ізделетін функциясының бір немесе бірнеше туындыларынан тұрады:

F(x,y,y',y'',...,y )=0 (1) n – дифференциалды теңдеулердің реті

Кез келген y=y(x) түрдегі функциясы оны алмастырып қойғаннан кейін дифференциалды теңдеуді теңбе-теңдікке түрлендіретін болса, ол (1) дифференциалды теңдеуді шешімі деп аталады.

1-ші ретті теңдеу: F(x,y,y')=0. Көптеген жағдайда дифференциалды теңдеулерді келесі түрде жазуға болады:

y'=f(x,y) (2)

Жазылудың бұл формасы үлкен туынды бойынша шешілген теңдеу деп аталады.

1-ші ретті (2) дифференциалды теңдеудің геометриялық интерпретациясын (түсіндіруін) берейік.

y' туындысы берілген нүктеде интегралды қисыққа жанаманың (көлбеуін) сипаттайды, сонда y'=k=const болғанда (1)-ші теңдеуден келесі шығады:

f(x,y)=k – изоклина деп аталатын, тұрақты (көлбеу) сызықтың теңдеуі k мәнін өзгерткенде изоклин тобын табамыз.

Қарапайым дифференциалды теңдеуді шешу әдістерін келесі топқа бөлуге болады:

1. графикалық

геометриялық қойылымдарды (сызуларды) пайдаланады, мысалы, изоклиналар әдісі.

2. аналитикалық

шешімдерді аналитикалық түрлендіру арқылы формулалар түрінде алуға (табуға) болады.

3. жуықталған

жуықталған (жуықтық) әдіс негіздеу арқылы дифференциалдық теңдеулердің кейбір элементтерін елемей оны оңайлатуды пайдаланады.

Қазіргі кезде ғылыми мәні бар дифференциалдық теңдеулерді шешуге кеңінен пайдаланылатын негізгі құралдарның бірі – сандық әдіс болып табылады.

Ең бір кең таралған және әмбебап сандық әдіске ақырғы айырмалар әдісі (метод конечных разностей) жатады, оның мәні мынада: аргументтің үзіліссіз өзгеру облысы ( мысалы, кесінді) түйін деп аталатын нүктелердің дискретті жиынымен ауыстырылады. Бұл түйіндер айырмалар торын құрайды. Үзіліссіз аргументтің ізделінді функциясы берілген тордағы дискретті аргументтің функциясы – торлық функциямен ауыстырылады. Негізгі ОДУ (әдеттегі дифференциалдық теңдеу?) торлық функциямен салыстырғандағы айырма теңдеумен ауыстырылады. Мұндай ауыстыру ОДУ-дың тордағы апроксимациясы деп аталады. ОДУ шешімі түйіндердегі торлық функцияның мәнін табуға тіреледі.

ОДУ-ды шешу үшін Эйлер, Рунге-Кутт, Милн әдістері, көпқадамды әдістер пайдаланылады.

MATLAB – та ОДУ жүйелерін шешу үшін әртүрлі әдістер қолданылады. Олардың орындалуы ОДУ-дың шешушілері (решатели) деп аталады. Solver (решатель) жалпы атауы ОДУ-ды шешудің мүмкіндік сандық әдістерінің бірін білдіреді: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, bvp4c немесе pdepe.

Шешушілер дифференциалды теңдеулер жүйесін шешуде төмендегідей шешу әдістерін қолданады:

• ode45 – Рунге-Куттың айқын, бірқадамды 4-ші және 5-ші ретті әдістері. Бұл бастапқы шешу үшін ұсынылатын классикалық әдіс. Көптеген жағдайда ол жақсы нәтиже береді.

• ode23 – Рунге-Куттың айқын, бірқадамды 2-ші және 4-ші ретті әдістері. ОДУ жүйесінің аздаған қатаңдығында және дәлдіктің төмен талаптарында шешу жылдамдығында ұтыс береді.

• ode113 – Адамс-Башворт-Мултонның көпқадамды айнымалы ретті әдісі. Бұл жоғарғы дәлдікті қамтамассыз ететін адаптивті әдіс.

• ode23tb – Рунге-Куттың айқын емес бастапқы шешу үшін әдісі және 2-ші ретті кері дифференциалдаудың формулаларын қолданатын әдіс.

ОДУ-ды шешу үшін басқа да функциялар бар.

Көпмүшелермен жұмыс

х белгісізінен n дәрежелі көпмүше (немесе полином) деп, келесі өрнек айтылады:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n, ,

мұнда, a₀, a₁,…, a_n-1, a_n – бұл көпмүшенің коэффициенттері, оларды кез-келген нақты немесе комплексті сандар деп есептеуге болады, сонымен қатар а₀ үлкен коэффициент нөлден өзге болуы тиіс.

Екі f(x) g(x)және g(x) көпмүшелері тең (немесе тепе-тең)

f(x) = g(x),

деп мына жағдайда есептеледі, егер белгісіздің белгісіздің бірдей дәрежесінде олардың коэффициенттері тең болса. Жеке жағдайда ең болмаса бір коэффициенті нөлден өзге көпмүше нөлге тең болмайды. Көпмүшелерді байланыстыратын теңдік белгісін бұл көпмүшелердің тепе-тең теңдігі мәнінде түсіну керек. Сонымен, n дәрежелі көпмүшеге өзінің коэффициенттерімен (a₀, a₁,…, a_n-1, a_n, где a₀  0, мұнда a₀  0) толық анықталатын формальды өрнек түрінде қарау қажет. Кез келген n натурал санға n дәрежелі көпмүше (0-ші,2-ші,3-ші және т.б. дәрежелі көпмүше) бар болады.

Егер f(x) және g(x) көпмүшелері ыңғайлылық үшін х-тің өспелі дәрежесімен жазылған комплексті коэффициентті болса:

f(x) = a₀+a₁x+…+a_n-1x^n-1+a_nxⁿ, a_n0,

g(x) = b₀+b₁x+…+b_s-1x^s-1+b_sx^s, b_s0,

және егер, мысалы үшін, , онда олардың суммасы деп мына көпмүше айтылады

f(x) + g(x) = c₀+c₁x +…+ c_n-1x^n-1 + c_nxⁿ,

оның коэффициенттері белгісіздің бірдей дәрежесінде тұрған f(x) және g(x) көпмүшелерінің коэффициенттерінің қосындысынан шығады, сонда,

c_i = a_i + b_i, i=0, 1,…, n,

мұнда, n>s болса, b_s+1, b_s+2,…,b_n коэффициенттерін нөлге тең деп сесптеу керек. Егер n s-тен үлкен болса, сумманың дәрежесі n-ге тең болады. Бірақ n=s болса, онда кездейсоқ ол n-нан кіші болуы мүмкін, ал b_n=-a_n жағдайда солай болады.

f(x) және g(x) көпмүшелерінің көбейтіндісі деп төмендегідей көпмүше айтылады

f(x) * g(x) = d₀ + d₁x +…+ d_n+s-1x^n+s-1 + d_n+sx^n+s,

ал оның коэффициенттері былай анықталады:

i=0, 1, …, n+s-1, n+s,

сонда, d коэффициенті f(x) және g(x) көпмүшелерінің индекстер суммасы i мен осындай көбейтінділердің қосындысына тең болатындай коэффициенттерінің көбейтіндісіне тең болады. Сонда:

d₀ = a₀b₀,, d₁ = a₀b₁ + a₁b₀,, …, d_n+s = a_nb_s

Соңғы теңдіктен теңсіздігі шығады, сондықтан екі көпмүшенің көбейтіндісінің дәрежесі осы көпмүшелердің дәрежелерінің суммасына тең болады. Бұдан нөлден өзге көпмүшелердің көбейтіндісі ешқашан нөлге тең болмайды.

Тейлор көпмүшесі, Лагранждың интерполяциялық көпмүшесі және т.б. көпмүшелер түрлері бар.

Көбіне MATLAB-та көпмүше мына түрде жазылады:

р(х) = а_пх^n + x_п-1x^n -1+ ... + а₂x^2 + а₁^х + а₀,

MATLAB-та көпмүшелерді өңдеудің мынадай функциялары бар:

• poly(A) - n x n өлшемді А квадрат матрица үшін элементтері det(A-sI) характерлі көпмүшенің коэффициенттері болып табылатын n+1 өлшемді вектор-жолды қайтарады, мұнда I – бірлік матрица, ал s – Лаплас операторы;

• poly(r) – r векторы үшін элементтері, түбірлері г векторының элементтері болып табылатын көпмүшенің коэффициенттеріне тең r вектор-жолды қайтарады.

• roots(c) – элементтері с көпмүшесінің түбірлері болып табылатын вектор-бағанды қайтарады.

• polyval(p,x) – х массивінде берілген нүктелерде есептелген р көпмүшенің мәнін қайтарады. р көпмүше – вектор, элементтері көпмүшенің дәрежесін төмендеткен реттегі коэффициенттері болып табылады, х – вектор немесе матрица болуы мүмкін. Кез келген жағдайда polyval функциясы әрбір х элементі үшін р көпмүшесінің мәнін есептейді.