Вопросы к экзамену
Множества и операции над ними. Числовые множества. Интервал, полуинтервал, отрезок. Ограниченные множества, верхние и нижние грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Окрестность точки.
Понятие функции и способы задания. Основные свойства функций. Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции и их свойства.
Числовая последовательность и ее свойства. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Общее правило нахождения пределов
Предел функции. Односторонние пределы. Общие правила нахождения пределов функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Непрерывность функции. Свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.
Производная функции в точке. Геометрический смысл производной. Правосторонняя и левосторонняя производные. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Пример. Производные основных элементарных функций. Пример. Понятие производных высших порядков.
Правило Лопиталя. Пример.
Возрастание и убывание функции. Достаточные условия монотонности функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.
Метод замены переменной. Пример. Метод интегрирования по частями. Пример
Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
Основные методы вычисления определенного интеграла: метод замены переменных, метод интегрирования по частям.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Вычисление площадей и объемов тел с помощью определенного интеграла.
Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Сходимость несобственных интегралов.
Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные приращения и частные производные.
Дифференцируемость ФНП. Полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойных интегралов.
Понятие дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши. Общее и частное решение ДУ. ДУ с разделяющимися переменными. Пример.
Линейные однородные и неоднородные ДУ.
ДУ второго порядка. Линейные однородные и неоднородные. Метод выбора частного решения.
Числовой ряд и его сумма. Сходимость числовых рядов. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Признак сходимости ряда с положительными членами.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Маклорена.
Пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними.
Классическое определение вероятности. Свойства вероятностей. Пример.
Размещения, сочетания, перестановки.
Геометрическое определение вероятности. Пример.
Условная вероятность. Обоснование формулы условной вероятности в классическом случае. Формула умножения вероятностей. Независимость событий.
Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.
Схема Бернулли. Формула Бернулли. Пример. Предельные теоремы Пуассона и Муавра – Лапласа.
Случайная дискретная величина. Ряд распределения. Пример. Функция распределения и ее свойства. Пример.
Непрерывная с. в. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
Математическое ожидание дискретной и непрерывной с. в. и его свойства. Дисперсия и ее свойства.
Мода и медиана распределения. Начальные и центральные моменты с.в.
Дискретное распределение: биномиальное, Пуассона, геометрическое и их характеристики.
Равномерное и показательное распределение и их основные характеристики. Лемма о равномерном распределении.
Нормальное распределение и его характеристики. Лемма о нормальном распределении. Вероятность событий, связанных с нормальным распределением.
Понятие выборки и генеральной совокупности. Выборочный метод. Выборочное распределение и его характеристики. Понятие статистики.
Распределение c2 , Стьюдента, Фишера. Понятие критических точек.
Точечные оценки неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Выборочное среднее и дисперсия как оценки.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти пределы функций:
1) а) 
; б) 
;
в) 
;
г) 
.
2) а) 
; б) 
;
в) 
; г)
.
3) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
4) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
5) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
6) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
7) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
8) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
9) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
10) а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
2. Найти производную функций:
1. а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. а)
; б)
;
в)
; г)
.
3. а)
; б)
;
в)
; г)
.
4. а)
; б)
;
в)
; г)
.
5. а)
; б)
;
в)
; г)
.
6. а)
; б)
;
в)
; г)
.
7. а)
; б)
;
в)
; г)
.
8. а)
; б)
;
в)
; г)
.
9. а)
; б)
;
в)
; г)
.
10. а)
; б)
;
в)
; г)
.
3. Найти производную второго порядка для функции
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
.
4. Исследуйте функцию и постройте ее график.
1)
; 2)
; 3)
;
4)
; 5)
; 6)
;
7)
; 8)
; 9)
;
10)
.
5. Найти частные производные функций.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
