Геометрична ілюстрація
Рис. 5.27
З ауваження. У деяких підручниках розглядаються тільки строго опуклі і строго вгнуті диференційовні функції. Дослідження на опуклість і вгнутість зводиться до дослідження монотонності її похідної f(x). Якщо функція f(x) двічі диференційовна, то для дослідження f(x) на монотонність можна застосувати критерій для нестрогої і строгої монотонності функції на проміжку. При цьому графік строго опуклої функції f(x) називають кривою у = f(x), повернутою опуклістю вниз (або кривою, повернутою вгнутістю вгору), а графік строго вгнутої функції f(x) називають кривою у = f(x), повернутою вгнутістю (або кривою, повернутою опуклістю вгору).
П
оказати,
що крива
всюди вгнута догори.
● Маємо
За
наслідком із теореми функція
строго опукла в інтервалі (– ;
+ ),
отже, крива скрізь вгнута догори.
Д
ослідити
криву
на напрямок вгнутості.
● Функція
визначена в інтервалі (– 1; + ).
У цьому інтервалі
і
в точках х1
= 0 і
.
Методом
інтервалів знаходимо, що
в інтервалі (–1;
0),
в інтервалі
і
в інтервалі
.
За наслідком із теореми доходимо
висновку, що в інтервалах (– 1; 0) і
крива вгнута донизу, а в інтервалі
вгнута вгору.
5.5.6. Точки перегину
Нехай функція f(x) диференційовна в інтервалі (а; b) за винятком, можливо, точки с (а; b), в якій вона неперервна і або не диференційовна, або має нескінченну похідну.
Означення. Точка с називається точкою перегину кривої у = f(x), де х (а; b), якщо існує такий окіл точки с, в якому для х < с крива у = f(x) опукла, а для х > с крива у = f(x) вгнута, або якщо для х < с крива у = f(x) вгнута, а для всіх х > с опукла.
Рис. 5.28
При цьому точку графіка (с; f(c)) також називають точкою перегину (рис. 5.28).
Геометрична інтерпретація. Точка с є точкою перегину кривої, якщо при переході через точку с крива у = f(x) має перегин, переходячи від опуклої до вгнутої, або навпаки. У самій же точці с функція f(x) або диференційовна, тобто крива у = f(x) має дотичну, не паралельну осі Оу, або неперервна (має дотичну, паралельну осі Оу).
З
найти
точки перегину кривої
.
Маємо
.
Для х < 0 похідна у(х) є зростаючою, а для х > 0 — спадною. Звідси для х < 0 крива вгнута вгору, а для х > 0 вгнута вниз, в точці х = 0 функція неперервна і має нескінченну похідну. Отже, точка х = 0 є точкою перегину. Інших точок перегину немає (рис. 5.29).
Рис. 5.29
5.5.7. Необхідна і достатня умови існування точок перегину
Теорема 1 (необхідна умова). Нехай функція f(x) двічі диференційовна в околі точки с і функція f(х) неперервна в точці с. Якщо точка с є точкою перегину кривої у = f(x) тоді f (с) = 0.
Доведення. Проведемо доведення від супротивного. Нехай f (с) 0. Оскільки функція f (х) неперервна в точці с і f (с) 0, то існує окіл точки с, в якому f (х) зберігає знак f (с). За умовою функція f(x) у зазначеному околі буде або опуклою (якщо f (с) > 0), або вгнутою (якщо f (с) < 0) і точка х = с не буде точкою перегину кривої у = f(x). Здобута суперечність доводить теорему.
Із означення точки перегину кривої у = f(x) та умов опуклих диференційовних функцій випливають такі достатні умови наявності точок перегину.
Теорема 2. Якщо функція f(x) диференційовна в деякому околі точки с і для х < с цього околу f (х) зростає, а для х > с спадає або, навпаки, для х < с похідна f (х) спадає, а для х > с зростає, то х = с буде точкою перегину у = f(x).
Теорема 3. Якщо функція f(x) двічі диференційовна в деякому околі точки с і f (х) < 0 для х < с цього околу, а f (х) > 0 для х > с або, навпаки, f (х) > 0 для х < с, а f (х) < 0 для х > с, то точка с буде точкою перегину кривої.
З
найдемо
точки перегину кривої
.
Знайдемо першу та другу похідну функції:
;
,
,
якщо
;
,
якщо
;
,
якщо
.
Отже,
точки
є точками перегину
Рис. 5.30.
Теорема 4. Нехай f(x) в околі точки с має похідні до n-го порядку включно, причому f(n)(х) неперервна в точці с, і нехай f (с) = f (с) = … = f (n – 1)(с) = 0, але f (n)(с) 0. Тоді, якщо n 3 непарне, то точка с буде точкою перегину кривої у = f(x).
З
найти
точки перегину кривої
.
Маємо
Оскільки
,
але
,
то за теоремою 4 х
= 0 є точкою перегину. Інших точок перегину
немає, оскільки
для
(не виконуються умови точок перегину).