2. Похідні і монотонно зростають (відповідно строго зростають) в (а; b).
3. Якщо функція f(x) опукла в інтервалі (а; b), то вона неперервна в ньому.
Доведення. Із властивості 2 випливає, що f(x) в будь-якій точці с (а; b) має скінченні ліву та праву похідні:
тому
тобто
Отже, маємо неперервність функції f(x) у точці с.♦
5.5.5. Критерії опуклості та вгнутості диференційовних функцій
Теорема 1. Для того щоб диференційовна в інтервалі (a; b) функція f(x) була опуклою (вгнутою), необхідно і достатньо, щоб її похідна f(x) у цьому інтервалі була монотонно зростаючою (монотонно спадною).
Д
ослідити
функцію
на опуклість.
● Маємо
і похідну f(x)
можна вважати і неспадною, і незростаючою.
Тому функція f(x)
опукла і вгнута не в строгому розумінні.
●
З найти проміжки опуклості і вгнутості функції
.
● Оскільки
,
то задача зводиться до знаходження
проміжків монотонності похідної f (x).
Скориставшись умовами монотонності,
знайдемо, що
,
звідки робимо висновки, що
для
і
для х
< 0.
Отже, f(x) зростає на проміжку (0; + ) і спадає на проміжку (–; 0). Звідси функція f(x) строго опукла на проміжну (0; + ) і спадає на проміжку (–; 0).
Теорема 2. Нехай функція f(x) двічі диференційовна на проміжку [a; b].
1)
Для того щоб функція f(x)
була опуклою (вгнутою) на проміжку [a;
b],
необхідно і достатньо, щоб
для будь-якого х
[a;
b].
2)
Для того щоб f(x)
була строго опуклою (строго вгнутою) на
проміжку [a;
b],
необхідно і достатньо, щоб виконувалась
попередня умова і щоб, крім того, не
існувало інтервалу
(с;
d)
[a;
b],
в якому
.
Наслідок.
Нехай функція f(x)
двічі
диференційовна на проміжку [a;
b].
Якщо
для всіх х
[a; b],
то f(x)
строго опукла
(строго вгнута) на [a;
b].
У підрозділі 5.5.4 було дано означення опуклої, строго опуклої, вгнутої і строго вгнутої функцій незалежно від їх диференційовності. Проте, якщо функція f(x) диференційовна в інтервалі, то в основу означення можна покласти будь-які умови (критерії) її опуклості і вгнутості. Часто ж означення опуклості і вгнутості диференційовної функції пов’язують з характерним для неї розміщенням дотичних до графіків цих функцій. Як відомо, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці х0 записується у вигляді
. (1)
Скажемо, що дотична (1) лежить не вище від графіка функції в інтервалі (a; b), якщо для всіх х (a; b) виконується умова
(2)
дотична (1) лежить нижче від графіка функції f(x) в інтервалі (a; b), якщо для всіх х (a; b), х х0, виконується умова
. (3)
Аналогічно визначається поняття «дотична лежить вище» і «дотична лежить не нижче» за допомогою заміни знаків у нерівностях (2) і (3) на протилежні. Справджується теорема.
Теорема 3. Для того щоб диференційовна функція f(x) була опуклою (вгнутою) в інтервалі (a; b), необхідно і достатньо, щоб у будь-якій точці графіка функції f(x) в інтервалі (a; b) дотична до графіка лежала не вище (не нижче) від графіка функції.
Теорема 4. Для того щоб диференційовна функція f(x) була строго опуклою (строго вгнутою) в інтервалі (a; b), необхідно і достатньо, щоб у будь-якій точці графіка функції f(x) в інтервалі (a; b) дотична до графіка лежала нижче (вище) графіка функції f(x).
На підставі із цих теорем можна дати таке означення.
Означення. Диференційовна функція f(x) називається опуклою (вгнутою) в інтервалі (a; b), якщо в будь-якій точці графіка функції f(x) із інтервалу (a; b) дотична до графіка лежить не вище (не нижче) від графіка функції (рис. 5.27).
Означення. Диференційовна функція f(x) називається строго опуклою (строго вгнутою) в інтервалі (a; b), якщо в будь-якій точці графіка функції f(x) із інтервалу (a; b) дотична до графіка лежить нижче (вище) графіка функції f(x).