1. Для того щоб функція f(X) була опуклою на проміжку [a, b], необхідно і достатньо, аби виконувалася умова: для довільних х1 і х2 із [a, b] і будь-якого , 0    1

. (2)

2. Для того щоб функція f(х) була вгнутою на проміжку [а; b], необхідно і достатньо, аби виконувалася умова: для довільних х1 і х2 із [а; b] і будь-якого , 0    1

. (3)

Доведення. Доведемо першу частину теореми для опуклої функції.

Необхідність. Нехай функція f(х) опукла на [a, b]. Це означає, що

— опукла множина.

Задамо довільно х₁ і х₂ із [а; b]. Тоді

і з огляду на опуклість множини дістанемо: точки (х; у) відрізка, що сполучає точки (х₁; f(x₁)) і (х₂; f(x₂)), мають належати А, тобто точки (х₁ + (1 – )х₂; f(x₁) + (1 – )f(x₂))повинні належати А, а це означає, що

,

тобто необхідна умова виконується.

Достатність. Нехай тепер виконується умова (2). Доведемо, що

— опукла множина, тобто для будь-яких двох точок (х₁; у₁) і (х₁; х₂) із А, де у₁  f(x₁), у₂  f(x₂), точки (х₁ + (1 – )х₂; у₁ +(1 – )у₂) із А при 0    1.

Справді, для х = х₁ + (1 – )х₂; у = у₁ +(1 – )у₂ згідно з (1) дістанемо

Це означає, що А — опукла множина.

Доведення другої частини теореми очевидне. Якщо функція f(х) вгнута, то – f(х) буде опуклою і для неї виконуватиметься нерівність (1):

,

звідки

.

На підставі доведеної теореми опуклу і вгнуту функції визначають відповідно до умов (2) і (3). Більш того, на окремі випадки строго опуклої і строго вгнутої функцій також поширюються дещо змінені умови (2) і (3).

Означення. 1. Функція f(х) на проміжку [a; b] називається опуклою (вгнутою), якщо для будь-яких двох точок х₁ і х₂ із [a; b] і будь-якого , 0    1, виконується нерівність

2. Функція f(x) на проміжку [a, b] називається строго опуклою (строго вгнутою), якщо для будь-яких точок х₁ і х₂ із [a, b], х₁  х₂, і будь-якого , 0 <  < 1, виконується нерівність

Геометрична ілюстрація

Рис. 5.25 Рис. 5.26

Геометрично умова (2) означає, що точки хорди, яка сполучає дві точки графіка опуклої функції f(x), лежать не нижче від графіка функції. Для строго опуклої функції точки такої хорди лежать вище від графіка функції, тобто якщо f(x) — строго опукла функція, то для будь-яких двох точок (х₁; f(x₁)) і (х₂; f(x₂)), х₁ < x < x₂, хорда, що сполучає ці дві точки, має задовольняти умову у > f(x).

У разі строго вгнутої функції f(x), навпаки, для точок (х; у) хорди, яка сполучає точки (х₁; f(x₁)), (х₂; f(x₂)) графіка у = f(x) має виконуватись умова у < f(x).

На рис. 5.25 і 5.26 подано графіки строго опуклої і строго вгнутої функцій.

Л інійна функція f(x) = аx + b опукла і одночасно вгнута (не строго), оскільки для неї одночасно виконуються умови (1) і (2), в яких нестрогі нерівності перетворюються на рівності.

П оказати, що функція f(x) = x² строго опукла для дійсних х.

● Справді, нехай х₁ і х₂ — дійсні числа, х₁  х₂. Тоді

Отже, за умовою (1) функція f(x) = x² опукла; для x₁ = x² і 0 <  < 1 дістанемо строгу нерівність, звідки f(x) = x² — строго опукла функція.

Без доведення наведено такі ознаки опуклості.

Теорема 3 (друга ознака опуклості функції). Якщо f(x) опукла в інтервалі (a; b), то для будь-якої точки х₀  (a; b) функція

, (4)

монотонно зростаюча по х (неспадна). Якщо функція f(x) строго опукла, то F(x, x₀) — строго зростаюча.

Справджується й обернена теорема.

Теорема 4. Якщо функція f(x) задана в інтервалі (а; b) і для будь-якої точки функція

,

неспадна, то f(x) опукла (а; b), якщо строго зростаюча, то f(x) строго опукла на (а; b).

Теорема 5 (третя ознака опуклості функції). Функція f(x) строго опукла в інтервалі (а; b) тоді і тільки тоді, коли для будь-яких х₁ < x₂ < x₃ із (а; b).

.

Очевидно, що є критерієм для опуклої функції.

5.5.4. Властивості опуклих і вгнутих функцій

1. Нехай функція f(x) опукла в інтервалі (а; b) с  (а; b). Тоді існують кінцеві ліва і права похідні в точці а, тобто і , причому .

2. 1. Якщо функція f(x) опукла (строго опукла) в інтервалі (а; b), то для будь-яких точок с і d, c < d, інтервалу виконується нерівність