Тема 5 Средние величины и показатели вариации

Изучая эту тему, необходимо, прежде всего понять, что статистическая средняя величина – это обобщающая величина статистической совокупности, выражающая типический уровень (характерный размер) осредняемого признака у единиц изучаемой однородной совокупности.

Различают степенные средние и структурные средние.

При исчислении средних величин вариационного ряда распределения встает сложный вопрос, какой формулой средней нужно воспользоваться в том или ином случае, чтобы правильно определить среднюю величину вариантов осредняемого признака.

Для того чтобы вычислить среднюю, нужно, прежде всего выяснить,

• что представляет в данном конкретном случае средняя величина, ее экономическое содержание, соотношением каких величин она является,

• что представляют собой другие исходные данные и как они связаны с осредняемой величиной,

• далее, необходимо, чтобы все операции вычисления средней и их результат имели реальный смысл и могли быть интерпретированны с социально-экономической точки зрения.

В зависимости от характера исходных данных и задач исследования могут быть рассчитаны

различные виды средних величин:

1) Средняя арифметическая исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой совокупности.

Если данные представлены в виде неранжированного ряда, то используется формула

средней арифметической невзвешенной: , где – значения осредняемого признака.

Если данные представлены в виде вариационного ряда, где – частота, то используется формула средней арифметической взвешенной:

2) Средняя гармоническая рассчитывается тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, представлена как их произведение . Средняя гармоническая – величина обратная средней арифметической.

Она может быть невзвешенной:

Средняя гармоническая взвешенная:

3) Кроме того, для анализа вариации признака в вариационном ряду используется средняя квадратическая. По данным дискретного ряда она рассчитывается по невзвешенной формуле:

В интервальном ряду средняя квадратическая рассчитывается по взвешенной формуле:

4) При вычислении средних значений в рядах динамики для темпов роста, рассчитанных цепных способом, используется средняя геометрическая: или

5) Для характеристики структуры совокупности применяются структурные средние: мода и медиана.

Модой является то значение осредняемого признака, которое чаще всего встречается в совокупности.

где – нижняя граница модального интервала;

– величина интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Мода (модальный интервал) может также определяется визуально в вариационном ряду, т.е. находится то значение варианты, численность которого в данном ряду больше, чем у любой другой варианты.

Может оказаться так, что несколько значений признака имеют одинаковую, наибольшую по сравнению с другими численность. Это означает, что в ряду не одна, а несколько мод.

Медиана – это то значение осредняемого признака, которое находится в середине ряда и делит статистическую совокупность на две равные части так, что одна часть имеет значения варьирующего признака меньше медианы, другая – больше:

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Медиана ряда, состоящего из нечетного числа вариант, лежит ровно посередине. Если вариационный ряд имеет четное количество вариант, то медиана рассчитывается как средняя арифметическая между двумя серединными значениями вариант.

Например, имеются данные о распределении семей по числу детей:

Число детей в семье	0	1	2	3	Свыше 3
Количество семей, %	15	45	20	7	3

Мо= 1 ребенок, т.к. ей соответствует наибольшее количество семей – 45%.

Ме= 2 ребенка, т.к. в ряду имеется пять вариант: 0, 1, 2, 3, свыше 3, поэтому серединой является третье значение.

К структурным средним также относятся следующие величины: квартили, квинтили, децили, перцентили. Эта группа показателей называется квантилями.

Квантили – это показатели, которые делят вариационные ряды на определенное количество равных частей.

Квартили (Q) делят ранжированный ряд на четыре равные части: первый квартиль (Q₁) включает значения признака, не превышающие 25% единиц совокупности, второй квартиль (Q₂) – совпадает с медианой (Ме), третий квартиль (Q₃) – значения признака, не превышающие 75% единиц совокупности.