5.3 Цепь с индуктивностью

Под действием синусоидального напряжения в цепи с индуктивной катушкой без ферромагнитного сердечника (рис. 5.3) проходит синусоидальный ток . В результате этого вокруг катушки возникает переменное магнитное поле и в катушке и наводится ЭДС самоиндукции. При R=0 напряжение источника целиком идет иа уравновешивание этой ЭДС; следовательно, . Так как , то

(5.5)

или

где

(5.6)

Рисунок 5.3 Схема цепи переменного тока с индуктивностью и временные диаграммы напряжения, тока и ЭДС

С опоставляя выражения для мгновенных значения тока и напряжения, приходим к выводу, что ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол π/2. Физически это объясняется тем, что индуктивная катушка реализует инерцию электромагнитных процессов. Индуктивность катушки L является количественной мерой этой инерции. Фазовые соотношения между током, напряжением и ЭДС для цепи с индуктивностью показаны на рис. 5.3 и 5.4.

Рисунок 5.4 Векторная диаграмма напряжения, тока и ЭДС для цепи с индуктивностью

Выведем закон Ома для этой цепи. Из выражения (5.6) следует, что . Пусть , где — индуктивное сопротивление цепи. Тогда получим выражение

, (5.7)

которое является законом Ома для амплитудных значений. Разделив левую и правую части этого выражения на , получим закон Ома для действующих значений:

(5.8)

П роанализируем выражение для . С увеличением частоты тока f индуктивное сопротивление увеличивается (рис. 5.5). Физически это объясняется тем, что возрастает скорость изменения тока, а следовательно, и ЭДС самоиндукции.

Рисунок 5.5 Зависимость индуктивного сопротивления X_L от частоты f

Рассмотрим энергетические характеристики цепи с индуктивностью.

Мгновенная мощность. Как и для цепи с R, мгновенное значение мощности определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока: .

Так как и , то окончательно имеем

(5.9)

Из графика рис. 5.6 видно, что при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная мощность положительна, а при разных знаках — отрицательна. Физически это означает, что в первую четверть периода переменного тока энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля катушки. Во вторую четверть периода, когда ток убывает, катушка возвращает накопленную энергию источнику. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источником повторяется и т. д.

Таким образом, в среднем катушка не потребляет энергии и, следовательно, активная мощность Р = 0.

Реактивная мощность. Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и катушкой служит реактивная мощность:

(5.10)

Единицей реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (ВАр).

Р исунок 5.6 Временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с индуктивностью

5.4 Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью

Ц епь (рис. 5.7) состоит из участков, свойства которых известны. Проанализируем работу данной цепи. Пусть ток в цепи изменяется по закону . Тогда напряжение на активном сопротивлении , так как на этом участке напряжение и ток совпадают по фазе. Напряжение на катушке , поскольку на индуктивности напряжение опережает по фазе ток на угол π/2. Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи (рис. 5.7).

Рисунок 5.7 Схема цепи переменного тока с R и L и векторная диаграмма

Сначала откладываем вектор тока I, затем вектор напряжения U_R, совпадающий по фазе с вектором тока. Начало вектора , опережающего вектор тока на угол π /2, соединим с концом вектора для удобства их сложения. Суммарное напряжение изображается вектором U, сдвинутым по фазе относительно вектора тока на угол φ. Векторы , и U образуют треугольник напряжений. Выведем закон Ома для этой цепи. На основании теоремы Пифагора для треугольника напряжений имеем . Но a; следовательно, , откуда

(5.11)

Введем обозначение , где Z — полное сопротивление цепи. Тогда выражение закона Ома примет вид

(5.12)

Так как полное сопротивление цепи Z определяется по теореме Пифагора, ему соответствует треугольник сопротивлений (рис. 5.8). Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений. Сдвиг фаз φ между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений:

(5.13)

(5.14)

Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол φ от вектора тока I. Поскольку вектор U сдвинут по фазе относительно вектора I на угол φ против часовой стрелки, этот угол имеет положительное значение. В дальнейшем покажем, что знак угла φ определяется по формальному признаку.

В ыведем энергетические соотношения для цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.

Рисунок 5.8 Треугольник сопротивлений для цепи с R и L и временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности

Мгновенная мощность. Мгновенная мощность выражается соотношениями

Или

(5.15)

Анализ выражения (5.15) и рис. 5.8, построенного на его основе, показывает, что мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня , который характеризует среднюю мощность. Отрицательная часть графика определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивной катушке и обратно.

Средняя мощность. Средняя, или активная, мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении и, следовательно, . Из векторной диаграммы (см. рис. 5.4) видно, что . Тогда

(5.16)

Реактивная мощность. Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивной катушкой и источником:

(5.17)

Полная мощность. Понятие полной мощности применяют для оценки предельной мощности электрических машин:

. (5.18)

Так как , то

. (5.19)

Единицей полной мощности является вольт-ампер (В-А).