Глава 1. Введение в математический анализ

Содержание:

Тема 1.1. Множества. Операции над множествами. 2

Понятие множества. 2

Способы задания множеств: 2

Операции над множествами 3

Тема 1.2. Понятие функции. 5

Основные понятия 5

Свойства функции 5

Тема 1.3. Предел функции. 6

Предел функции на бесконечности. 6

Предел функции в точке. 6

Бесконечно малые величины. 7

Свойства бесконечно малых величин: 7

Бесконечно большие величины. 7

Свойства бесконечно больших величин: 8

Свойства пределов. 8

Замечательные пределы. 8

Тема 1.4. Непрерывность функции. 9

Определение непрерывности функции. Точки разрыва. 9

Основные теоремы о непрерывных функциях. 9

Непрерывность элементарных функций. 9

Свойства функций, непрерывных на отрезке. 9

Тема 1.5. Производная функции. 10

Понятие производной 10

Основные правила дифференцирования 10

Таблица производных 10

Применение производной в исследовании функции и построении её графика 11

Тема 1.6. Дифференциал функции. 12

Понятие дифференциала 12

Свойства дифференциала: 12

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. 12

Дифференциалы высших порядков 12

Тема 1.1. Множества. Операции над множествами. Понятие множества.

Множество – совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами множества.

Обозначения:

1. Множества – А, В, С, М…

2. Элементы множества – а, b, с…

3. а элемент множества М - аМ ("а принадлежит М")

4. b не является элементом множества М - bМ ("а не принадлежит М")

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается А  В ), если всякий элемент из А является элементом В (см. рис.). Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Пример: В – множество студентов колледжа

А – множество студентов-второкурсников

Содержательные примеры множеств и их возможные обозначения:

N - множество натуральных чисел 1, 2, 3,...;

N₁ - множество натуральных чисел, не превосходящих 100;

R - множество всех действительных чисел и т.д.

Два определения равенства множеств:

I. Множества А и В равны (А = В}, если их элементы совпадают.

П. Множества А и В равны, если А  В и В  А.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае - бесконечным (например, множества N, R - бесконечные множества). Число элементов в конечном множестве М называется его мощностью и обозначается |М|.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым (обозначается : || = 0.

Способы задания множеств:

• Перечислением, т.е. списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка - в фигурных скобках. Например, множество А устройств домашнего компьютера, состоящего из процессорного блока а, а также периферийных устройств В (монито­ра b, клавиатуры с и принтера d), может быть представлено списком:

А = {а, В} или А = {а, b, с, d}.

(Задание типа N = 1,2,3,... - не список, но лишь допустимое условное обозначение.)

• Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы; обозначается:

М= {х | Р(х)} или М= {х : Р(х)}.

(«Множество М состоит из элементов х таких, что х обладает свойством Р») Например, множество А периферийных устройств персонального компьютера PC может быть опре­делено:

А = {х: х - периферийное устройство персонального компьютера PC}.

Если свойство элементов множества М может быть описано коротким выражением, это упрощает его символьное представление. Например, множество всех натуральных чет­ных чисел М_2п может быть представлено:

М_2п= {x:x = 2n,nN}.

Пример 1. Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1,2,3,...

• Списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности. (способ перечисления)

• Описание характеристического свойства элементов множества N: N= {х: х - целое положительное число}. (описание характеристических свойств)

Пример 2. Задать различными способами множество М всех четных чисел 2,4,6,..., не превышающих 100.

• М_2n = {2,4,6,..., 100}. (способ перечисления)

• М_2п= {п: п - целое положительное число, не превышающее 100} или М_2п = {п: п N, n/2  N, п  100}. (описание характеристических свойств)