3. Свойства бинарных отношений.

Пусть R - отношение на множестве М, R  М  М. Тогда:

1) R -рефлексивно, если имеет место aRа для любого а  М (например, отношение "жить в одном городе" - рефлексивно);

2) R - антирефлексивно, если ни для какого а  М не выполняется aRа (например, отношение "быть сыном" - антирефлексивно);

3) R - симметрично, если aRb влечет bRа (например, отношение "работать на одной фирме" - симметрично);

4) R - антисимметрично, если aRb и bRа влекут а = b, т.е. ни для каких различающихся элементов а и b (а  b) не выполняется одновременно aRb и bRа (например, отношения "быть сыном", "быть начальником" - антисимметричны);

5) R - транзитивно, если aRb и bRc влекут aRс (например, отношения "быть моложе", "быть братом" - транзитивны).

Пример 8.

Какими признаками характеризуется матрица отношения R, если R соответственно: рефлексивно, антирефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно?

 Пусть R задано на М, R  М  М.

1) R рефлексивно, если для любого а  М имеет место aRа, т.е. оно выполняется для всех пар (а, а), а  М. В матрице этим парам соответствуют элементы c_ij. Такие элементы составляют главную диагональ матрицы. Следовательно, главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы;

2) R антирефлексивно, если ни для какого а  М не выполняется aRа. Из этого следует, что главная диагональ матрицы антирефлексивного отношения должна содержать только нули;

3) R симметрично, если для пары (а, b)  М  M из aRb следует bRа, т.е. для любой пары отношение R выполняется в обе стороны либо не выполняется вообще. Таким образом, если в матрице единица стоит на пересечении i-и строки j-го столбца, т.е. с_ij = 1, то она должна стоять и на пересечении j-й строки и i-го столбца, т.е. с_ji = 1, и наоборот, если с_ji = 1, то с_ij = 1. Таким образом, в матрице симметричного отношения с_ij = с_ji, т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали;

4) R антисимметрично, если из aRb и bRa следует а=b. Это означает, что в соответствующей матрице ни для каких ij  [1,2,...m], т = М, i  j, не выполняется с_ij = с_ji = 1. Таким образом, в матрице антисимметричного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали;

5) R транзитивно, если для любых а, b, с из aRb и bRс следует aRс. В матрице такого отношения должно выполняться следующее условие: если в i-й строке стоит единица, например j-й координате (столбце) строки, т.е. с_ij = 1, то всем единицам j-й строке (пусть этим единицам соответствуют k-e координаты такие, что с_jk = 1) должны соответствовать единицы в i-й строке в тех же k-х координатах, т.е. c_ik = 1 (и, может быть, еще и в других координатах). Это условие иллюстрируется на рис.6, где кружком выделена единица с_ij= 1, для которой производится проверка условия, а стрелками показана последовательность проверки данного условия.

Рис.6

В матрице транзитивного отношения это условие должно выполняться для любых i,j т = М таких, что c_ij=1. И наоборот, если в матрице R имеется хотя бы одна единица с_ij = 1, для которой данное условие не выполняется, то R не транзитивно.

Пример 9.

Пусть бинарное отношение R на М задано в виде диаграммы, состоящей из узлов и стрелок так, что узлам взаимно однозначно соответствуют элементы множества М, а стрелкам, соединяющим пару а и b в направлении от а к b, - наличие отношения aRb. Определите графические особенности диаграммы в зависимости от характера свойств отношения R.

 1. Отношение R : М  М рефлексивно, если aRа для любых а  М. Соответствующая диаграмма рефлексивного отношения должна содержать петли во всех узлах (т.е. стрелки, начинающиеся и заканчивающиеся в одном узле).

2. Отношение R антирефлексивно, если ни для каких а  М не выполняется a R а. Диаграмма антирефлексивного отношения не должна содержать ни одной петли.

3. Отношение R симметрично, если из aRb следует bRa. В диаграмме симметричного отношения для каждой стрелки, соединяющей два узла, существует также стрелка, соединяющая эти узлы в обратном направлении.

4. Отношение R антисимметрично, если из aRb и bRa следует а = b. В диаграмме антисимметричного отношения не существует двух различных узлов, связанных парой (разнонаправленных) стрелок.

5. Отношение R транзитивно, если из aRb и bRc следует a R с. В диаграмме транзитивного отношения для любых двух стрелок таких, что одна направлена от а к b, а другая - от b к с, существует стрелка, соединяющая а и с в направлении от а к с.

Пример 10.

Определите свойства отношений, заданных:

1. На множестве натуральных чисел N:

а) R₁ - "быть не больше <";

б) R₂ - "быть делителем";

в) R₃ - "быть равным".

2. На множестве точек действительной плоскости R  R:

а) R₄ - "находиться на одинаковом расстоянии от начала координат";

б) R₅ - "быть симметричным относительно оси X".

3. На системе множеств (М):

a) R₆ - "пересекаться с" (иметь непустое пересечение);

б) R₇ - "являться строгим включением ".

4. На множестве людей:

а) R₈ - "быть сыном";

б) R₉ - "жить в одном городе";

в) R₁₀ - "быть братом".

5. На множестве элементов структуры (рис.3):

а) R₁₁ - "быть непосредственно связанным с";

б) R₁₂ - "быть начальником".

 1. На множестве N:

а)R₁={(a,b)}:ab}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как выполняется а  а для всех а  М, например 2 2;

• несимметрично, так как 2  3, но неверно,что 3  2;

• антисимметрично, поскольку если аb, а bа, то а = b;

• транзитивно, так как если аb, a bс, то ас, например 2  3, 3  4 и 2  4;

б) R₂ - {(а, b): а - делитель b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: а/а= 1 для всех а  N;

• не симметрично, антисимметрично, например 2 - делитель 4, но 4 не является делителем 2;

• транзитивно, так как если b/а N и c/b N, то с/а =b/а c/b  N,

например, если 6/3 = 2  N и18/6 = 3  N, то 18/3 = 18/6  6/3 = 6  N;

в) R₃ = {(a,b): a=b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, поскольку а = а для всех а  N;

• симметрично, так как если а = b, то b = a;

• антисимметрично, так как если aR₃ b и bR₃ а, то а = b;

• транзитивно, так как если а = b и b = с, то а = с.

2. На множестве точек действительной плоскости R  R:

а) R₄ = {((х₁, у₁), (х₂, у₂))}: (x₁)²+ (y₁)² = (x₂)²+ (y₂)²}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как х² + у² = х²+у² для любых точек (х, у) действительной плоскости R  R;

• симметрично, не антисимметрично, так как, например, для точек (2, 3) и (-2, 3) имеет место 2² + 3² = (-2)² + 3², но (2,3)  (-2,3);

• транзитивно, поскольку если (х₁, у₁) и (х₂, у₂) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, а также (х₂, у₂) и (х₃, у₃), то и (х₁, у₁) и (х₃, у₃) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат;

б) R₅ = {((х₁, у₁), (х₂, у₂)): x_l = x₂, y_l=-y₂}:

• не рефлексивно, так как для точек плоскости (х, у), не находящихся на оси X, т.е. для точек с координатами у  0, не выполняется (х,у)R₅ (х,у);

• не антирефлексивно, так как точка плоскости симметрична самой себе, если она лежит на оси X, т.е. для точек (х, у) с координатами у = 0 имеет место (x, у) R₅ (х, у)',

• симметрично, например (2,3) R₅ (2, - 3) и (2, -3) R₅ (2,3);

• не антисимметрично, поскольку имеет место, например, (2, 3) R₅ (2, -3) и (2, -3) R₅ (2, 3),

но (2, -3)  (2, 3);

• не транзитивно, так как, например, (2, 3) R₅ (2, -3) и (2, -3) R₅ (2, 3), но не выполняется (2, 3) R₅ (2, 3).

3. На системе множеств (М):

а) R₆ = {(А, В): А  В  , А,В  (М)}:

• не рефлексивно, поскольку для   (М) имеет место  = ;

• не антирефлексивно, так как для А  (M), если А не пусто, т.е. А  , то А  А  , т.е. отношение выполняется;

• симметрично, так как если А пересекается с В, то и В — с А;

• не антисимметрично, поскольку AR₆B и BR₆A для АВ;

• не транзитивно, например {a} R₆ {а, b} и {a, b}R₆ {b}, но {a} R₆ {b} не выполняется;

б) R₇ = {(A,B): AB}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для каких А  (М) не выполняется АА;

• несимметрично, поскольку из А  В не следует В  А;

• антисимметрично, так как ни для каких А, В таких, что А В, не выполняется одновременно АВ и ВА;

• транзитивно, так как для любых А,В,С  (M) из А  В и В  С следует А  С.

4. На множестве людей:

а) R₈ = {(а, b): а - сын b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, так как ни для каких а не выполняется: а - сын а;

• не симметрично, антисимметрично, поскольку ни для каких а  b не выполняется: а - сын b и b- сын а;

• не транзитивно, так как если: а - сын b и b - сын с, то а - не сын с;

б) R₉ = {(а, b): а живет в одном городе c b}:

• рефлексивно, не антирефлексивно, так как aR₉ а для всех а;

• симметрично, поскольку для любых а, b, если a R₉ b, то bR₉ a;

• не антисимметрично, так как имеет место a R₉ b и b R₉ а для а  b;

• транзитивно, поскольку для всех а, b, с, если a R₉ b и b R₉ с, то a R₉ с;

в) R₁₀ ={(a,b): а- брат b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия a R₁₀ а для всех а;

• не симметрично, так как в общем случае между братом а и сестрой b имеет место a R₁₀ b, но не b R₁₀ a;

• не антисимметрично, так как если а и b - братья, то aR₁₀ b и b R₁₀ а, но а  b;

• транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

5. На множестве элементов структуры (см. рис.3):

а) R₁₁ = {(а, b): а - непосредственно связан с b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации a R₁₁ а не имеет смысла;

• симметрично, не антисимметрично, поскольку для всех аb, если выполняется a R₁₁ b, то b R₁₁ a;

• не транзитивно, так как при a R₁₁ b и b R₁₁ с не выполняется a R₁₁ с (а и с связаны, но опосредованно);

б) R₁₂ = {(а, b): а - начальник b}:

• не рефлексивно, антирефлексивно (см. R₁₁);

• несимметрично, антисимметрично, так как для всех а  b не выполняется одновременно aR₁₂b и b R₁₂ a;

• транзитивно, так как если а — начальник b и b - начальник с, то а — начальник с.