2. Операции над множествами

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: .

А  В = {х: хА или хВ}

Пример

Множество студентов, пришедших на сдачу экзамена, является объединением множеств студентов, сдавших экзамен и студентов, получивших неудовлетворительную отметку. Объединением числовых множеств и является множество .

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из этих множеств: .

А  В = {х: хА и хB}.

Пример

Пересечение множества страниц данного учебного пособия и множества страниц, прочитанных Вами в течение сегодняшнего дня в различных печатных работах, есть множество, состоящее из страниц этой тетради, прочитанных Вами сегодня. Пересечение множеств натуральных чисел и чисел, кратных 3, есть множество натуральных чисел, кратных трем.

Cвойства операций объединения и пересечения:

1) коммутативность:

A U В= В U А, А В = В А;

2) ассоциативность:

(А U В) U С = A U (В U С), (А В) С = А (В С);

3) дистрибутивность:

(А U В) С = (А С) U (В С),

(А В) U С = (.А U С) (В U С)

Разностью двух множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: . При этом, не предполагается, что В А. Разность множеств А и В обозначается А \ В (или А — В).

А \ В= {х: хА и хВ}.

Пример

Если в качестве множества А рассмотреть двузначные числа, а в качестве множества В четные двузначные числа, то разностью этих множеств будут являться нечетные двузначные числа.

Если В — подмножество А, то разность А \ В также называют дополнением множества В до множества А. Если R = А \ В, то R В = Æ и R U В = А.

Дополнением множества называется множество В^с, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих В.

Пример

Пусть А — множество всех натуральных чисел, кратных двум, а В — множество всех натуральных чисел, кратных трем. Объединением этих множеств будет множество всех натуральных чисел, кратных числу 2 или числу 3. Их пересечением будет множество всех натуральных чисел, кратных как числу 2, так и числу 3, т. е. кратных числу 6.

Пусть теперь А — множество всех натуральных чисел, кратных числу 2, а В — множество всех натуральных чисел, кратных числу 6 (т. е. кратных как числу 2, так и числу 3). Множество В является подмножеством множества А. Дополнением множества В до множества А будет множество всех натуральных чисел, кратных числу 2, но не кратных числу 3.

Понятия объединения и пересечения, данные для случая двух множеств, могут быть распространены и на случай любого числа множеств.

Объединением конечного числа множеств Ai (i= 1, 2, ..., n) называют множество В, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств Ai, и пишут

B =

Пересечением конечного числа множеств Ai (i= 1, 2, ..., n) называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно всем множествам Ai, и пишут

С = .

Если А_i — бесконечная совокупность множеств (i=l, 2, ..., n, ...), то объединение и пересечение этих множеств обозначают с помощью символов

и

соответственно.

Пусть А_i — конечная или бесконечная совокупность подмножеств (i = 1, 2, 3, ...) множества А. Связь между подмножествами А_i и множеством А устанавливается следующими равенствами, называемыми соотношениями двойственности:

A\ = , А\ = .

Пусть А и В — два произвольных множества. Пара (а, b) элементов а В и b В, взятых в данном порядке, называют упорядоченной парой. Считают, что пары (а₁, b₁) и (а₂, b₂) равны тогда и только тогда, когда a₁ = a₂ и b₁ = b₂.

Декартовым произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, b). Декартово произведение множеств А и В обычно обозначается А В.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Они представляют для нас наибольший интерес и имеют геометрическую интерпретацию, знакомую Вам еще по школьному курсу.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют: неравенству , называется отрезком (или сегментом) ; неравенству , называется интервалом ; неравенствам или , называется полуинтервалами соответственно и . Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы , , , , . Все эти множества объединяются термином «промежуток Х».

Обратите внимание на запись множества в виде числового промежутка и в виде неравенства. Попробуйте изобразить указанные множества на числовой прямой.

Задание 1.1.3. Выполните следующие задания, если , , , , : 1) Выясните, какие из предложенных множеств являются подмножествами множества А и определите для них соответствующие дополнения, 2) Найдите пересечение множеств А и В, В и С, В и Н, 3) Найдите объединение множеств Н и В, В и М, 4) Найдите разность множеств А и В. (Подсказка. Воспользуйтесь приведенными выше определениями и образцами символической записи. Ответ. 1) , ; 2) ; 3) , ; 4) .)

Операции объединения, пересечения, дополнения {, , ¬} часто называют булевыми операциями над множествами.

Пример

Пусть универсальное множество U- множество всех сотрудников некоторой фирмы; А - множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; В - множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С -множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:

а) ¬В;

б) ¬А Ç B Ç С;

в) A È (B Ç С)

г) B \ С;

д) С \ B?

Ø а) ¬В - множество сотрудников организации, стаж работы которых не превышает 10 лет;

б) ¬А Ç В Ç С - множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет;

в) А È (В Ç ¬С) - множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не являющихся менеджерами, стаж работы которых более 10 лет;

г) В \ С - множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами;

д) С \ В - множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.

Пример

Задайте множества ¬М, ¬N, если: М - множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100; N - множество натуральных чисел.

Ø М -множество всех натуральных чисел, больших 100. Запись ¬N без контекста (т.е. без указания универсального множества U) не ясна:

• то ли это множество всех отрицательных целых чисел;

• то ли это множество положительных дробных чисел;

• то ли это пустое множество натуральных чисел.

Пример

Осуществите операции над множествами A = {a,b,c,d} и B = {c,d,e,f,g,h}.

Ø A È В= {а, b, с, d, e, f, g, h}; A Ç B={c, d}.

Универсальное множество U не определено, поэтому, стро­го говоря, операции дополнения над множествами A и В не могут быть выполнены. Дополним условие. Пусть U={a, b, с, d, e, f, g, h}, тогда ¬А = U \ A = {e, f, g, h}, ¬В ={а,b}. A \ B={a,b}; B \ A = {e,f,g,h}.