§ 19. Следствия из законов динамики Ньютона

19.1. Поступательное движение твердого тела

Мысленно разобьем произвольное  твердое тело на столь малые части, чтобы каждую из них можно было рассматривать как материальную точку, к которым применимы три закона динамики И. Ньютона.

Рассмотрим произвольную систему материальных точек (рис. 102),

рис. 102

которые взаимодействуют между собой (эти силы назовем внутренними) и с другими телами, не входящими в рассматриваемую систему (внешние силы). Пронумеруем эти точки. В соответствии со вторым законом Ньютона, для каждой материальной точки (например, номер 1) справедливо уравнение

где m₁ − масса рассматриваемой точки; а₁ − ее ускорение; F₁₂, F₁₃, ... F_1к − силы¹, действующие на точку 1, со стороны материальных точек 2, 3,...k...; F₁^вн − сумма внешних сил, действующих на точку 1. Просуммируем уравнения вида (1) для всех точек, включенных в рассматриваемую систему, в результате чего получим очень громоздкое уравнение:

В этом уравнении силы взаимодействия между двумя материальными точками взаимно уничтожаются (!), в соответствии с третьим законом Ньютона. Например,

Поэтому

Таким образом, в правой части уравнения (2) остается сумма только внешних сил, действующих на систему:

При поступательном движении твердого тела ускорения всех точек тела одинаковы:

поэтому уравнение (3) еще больше упрощается и приобретает вид, совпадающий с уравнением второго закона Ньютона для материальной точки:

здесь F − сумма внешних сил, действующих на тело, m − масса тела.

Итак, при  поступательном движении твердого тела ускорение тела пропорционально сумме внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела.

Обратите внимание, что обоснование применимости уравнения второго  закона (4) к движению твердого тела потребовало также привлечения третьего закона Ньютона.

 ¹Обращайте внимание на индексные обозначения сил взаимодействия: здесь первый индекс указывает номер тела, на которое действует сила со стороны тела, номер которого указывает второй индекс. Некоторые авторы предпочитают противоположную индексацию.

19.2. Произвольное движение твердого тела и системы тел

Рассмотрим теперь уравнение второго закона Ньютона для  произвольной системы материальных точек и их произвольного движения. Оказывается, что в этом случае можно рассматривать движение некоторой геометрической точки, для которой уравнение движения полностью определяется только внешними силами. В качестве такой точки следует взять центр масс системы.

Пусть совокупность тел представлена набором материальных точек,  массы которых обозначим m₁, m₂, m₃ ..., положения этих точек определим с помощью их радиус-векторов r₁, r₂, r₃ ... в некоторой системе координат XYZ (рис. 103).

рис. 103

Радиус-вектор центра масс системы определяется по  формуле

Аналогично можно выразить  векторы скорости и ускорения центра масс системы через соответствующие характеристики движения материальных точек:

В знаменателях этих формул  стоит суммарная масса всей системы

m₁ + m₂ + m₃ + ... = m.

В числителе формулы (3) стоит то же выражение, что и в уравнении (3) §17. Поэтому из этих соотношений следует простое уравнение для ускорения центра масс: для произвольной системы независимо от того, движутся ли части этой системы друг относительно друга или нет, ускорение центра масс системы определяется уравнением a_c = F/m, в котором F − сумма внешних сил, действующих на систему, m − масса всей системы.

Мы определили особую точку системы  материальных точек − центр масс. Фактически введение этого понятия оправдывается простотой уравнения, описывающего ее движение. Упрощенно можно сказать, что всю массу системы можно собрать в центре масс и при этом рассматривать движение системы как движение одной материальной точки. Существенно, что движение центра масс полностью определяется внешними силами и не зависит от внутренних сил, действующих между отдельными телами, входящими в рассматриваемую систему. Например, центр масс осколков разорвавшегося в воздухе снаряда продолжает двигаться по параболе (если, конечно, пренебречь сопротивлением воздуха) независимо от того, какие дополнительные скорости приобрели эти осколки в момент разрыва.

Отметим еще одно существенное обстоятельство: если в какой-либо инерциальной системе отсчета центр масс системы покоится, то никакие внутренние силы не могут изменить его положение.

Для твердого тела, расстояния между точками которого остаются неизменными, центр масс однозначно «привязан» к самому телу.

Рассмотрим простейший пример твердого тела, состоящего из двух  небольших шариков (материальных точек), массы которых равны m₁ и m₂, соединенных жестким невесомым стержнем длиной l (рис. 104).

рис. 104

Направим ось вдоль стержня, начало отсчета  совместим с первым шариком. Из определения (1), следует, что центр масс находится на стержне (координаты у, z обоих шариков равны нулю, поэтому и соответствующие координаты центра масс также равны нулю). Координата х_C центра масс рассчитывается по формуле (с учетом х₁ = 0, х₂ = l)

Если массы шариков равны, то  центр масс находится в середине стержня, если масса одного из шариков значительно превышает массу другого, то центр масс совпадает с массивным шариком. Так, при m₁ >> m₂, х_C = 0, в противном случае при m₁ << m₂, х_с = l. При произвольном соотношении между массами шариков центр масс находится ближе к более тяжелому шарику. Отметим интересное соотношение, следующее из формулы (4):

где l₁, l₂ − расстояния от центра масс до соответствующих материальных точек.

Для тел простой геометрической формы их центр масс может быть легко  найден без громоздких вычислений по формуле (1). Так, для однородного стержня центр масс находится в его середине, для однородных кольца, диска, шара их центр масс совпадает с геометрическим центром. Центр масс однородной прямоугольной пластинки расположен в точке пересечения диагоналей, для треугольной пластинки − в точке пересечения медиан (рис. 105).

рис. 105