27.3. Потенциальная энергия тел, находящихся в поле тяжести

Пусть тело массой m падает с некоторой высоты, проходя при этом путь h. Так как сила тяжести mg, действующая на это тело, постоянна, то работа этой силы вычисляется элементарно: А = mgh (рис. 152).

рис. 152

Покажем, что эта работа не зависит от траектории, по которой движется тело. Разобьем произвольную траекторию движения тела на малые участки, перемещения на которых обозначим Δr (рис. 153).

рис. 153

Тогда работа силы тяжести на этом малом участке определяется по формуле

где α − угол между вертикалью и вектором перемещения. Как следует из рисунка:

Δrcosα = Δh,

где Δh − изменение высоты тела. Таким образом, работа полностью определяется только изменением высоты тела, его вертикальной координаты, а не траектории движения. Для вычисления работы силы тяжести на произвольном участке необходимо просуммировать выражения для работ на малых участках, что сведется к суммированию изменения высот. Следовательно, эта работа не зависит от формы траектории, поэтому сила тяжести является потенциальной. Используя определение потенциальной энергии, можно записать

ΔU = mg(h₁ − h₂), (1)

где h₁, h₂ − начальная и конечная высоты, на которых находилось тело. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого, то уровень, от которого отсчитываются высоты, может быть выбран произвольно, поэтому выражение для потенциальной энергии традиционно записывают в виде U = mgh. Важно отметить, что положительным направлением вертикальной оси (в наших обозначениях это h) считается направление вертикально вверх, в сторону, противоположную силе тяжести. Если тело движется вниз, то сила тяжести совершает положительную работу, поэтому потенциальная энергия тела уменьшается.

Для увеличения потенциальной энергии к телу необходимо приложить внешнюю силу, которая совершит работу. Так, чтобы поднять тело на некоторую высоту h, к нему необходимо приложить внешнюю силу F, превышающую силу тяжести mg (рис. 154).

рис. 154

Если поднимать тело равномерно, то внешняя сила по модулю будет равна mg. В этом случае работа внешней силы минимальна и вычисляется элементарно: А = mgh. Эта работа внешней силы пошла на увеличение энергии тела, а точнее − потенциальной энергии его взаимодействия с Землей.

Если приложенная сила превышает силу тяжести, то в ходе подъема тела будет возрастать его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия. В этом случае работа внешней силы пойдет на увеличение как потенциальной, так и кинетической энергии тела. В обоих рассмотренных случаях совершенная работа выступает в роли меры изменения энергии, а еще точнее − меры перехода энергии из одной формы в другую.

27.4. Потенциальная энергия деформированной пружины

Деформированная (например, растянутая) пружина способна совершить работу (рис. 155).

рис. 155

Действительно, если к растянутой пружине прикрепить некоторое тело, то пружина будет действовать на него с некоторой силой, под действием которой тело начнет смещаться. Следовательно, будет совершена работа (рис. 156).

рис. 156

Сила, с которой пружина действует на тело, не является постоянной, поэтому для вычисления работы воспользуемся графическим методом. Построим график зависимости силы упругости F = kx от координаты, которая является прямой линией (рис. 157).

рис. 157

Площадь выделенного треугольника под графиком  равна максимальной работе, которую может совершить пружина. Понятно, что она равна:

Для того чтобы пружине приписать потенциальную энергию, равную максимальной работе (1), необходимо показать, что эта работа не зависит от траектории движения тела. Чтобы доказать это утверждение, достаточно рассмотреть работу на малом участке перемещения Δr при движении по произвольной траектории (рис. 158).

рис. 158

В данном случае эта работа

полностью определяется изменением деформации пружины х, поэтому она не зависит от траектории движения тела. Таким образом, силы упругости, подчиняющиеся закону Гука, являются потенциальными, и потенциальная энергия деформированной пружины определяется формулой

Нулевой уровень потенциальной энергии, рассчитываемой по формуле (2), соответствует недеформированной пружине. Подсчитаем, какую минимальную работу следует совершить, чтобы пружину жесткостью k растянуть на величину x (рис. 159).

рис. 159

Чтобы деформировать пружину, к ней необходимо приложить внешнюю силу. Очевидно, что эта работа будет минимальна в том случае, если внешняя приложенная сила в любой точке равна силе упругости, действующей со стороны пружины. Поэтому работа этой силы будет равна: А = kx²/2, то есть увеличению потенциальной энергии пружины.